-Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu.

-Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu.

-Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài liệu cụ thể, do đó làm mất nhiều thời gian.

- Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng chuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn.

- Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành.

Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng. Một trong những dạng toán đó là:Các dạng toán về bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8,9. Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoàn chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải. Bài toán về bất đẳng thức có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Đề tài này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để giải các bài toán về bất đẳng thức .

Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “các dạng toán về bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8,9”.

II. Mục đích nghiên cứu:

Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán.

III . Đối tượng nghiên cứu:

- Định nghĩa một số bất đẳng thức cơ bản….

-Hệ thống hóa kiến thức và phương pháp giải toán về bất đẳng thức cấp trung học cơ sở.

-Đưa ra được những kĩ năng cần thiết khi biến đổi bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN bằng bất đẳng thức luôn đúng.

-Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học toán

IV.Đối tượng khảo sát,thực nghiệm:

Đối tượng khảo sát : Học sinh khối lớp 8,9.

V.Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:

+Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8,9 từ năm 2011 đến nay.

+Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, các loại sách tham khảo.

+Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

CHƯƠNG I : MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI.

I.Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu trong các tài liệu và từ thực tế.

a.Nghiên cứu tài liệu:

-Trong nhiều năm liền tôi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, tích góp những nội dung, những kinh nghiệm quan trọng về bất đẳng thức theo trình tự từ lớp 6à9 cho từng dạng bài toán riêng.

b.Nghiên cứu từ thực tế:

b.1 Điều tra từ thực tế: Trước khi viết đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra 15 em học sinh Toán khối 8,9 của trường THCS.

b.2 Phân tích tổng hợp giữa lý luận và thực tiễn:

-Trên cơ sở những lý luận về đổi mới phương pháp dạy học và thực tế học sinh của trường tôi tiến hành nghiên cứu nội dung chứng minh bất đẳng thức và thiết kế hoạt động dạy học này theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và khi giảng dạy tôi kiểm tra, so sánh các yêu cầu sau:

+Tích cực suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng.

+Phát triển tư duy khái quát hóa, tổng hợp hóa.

+Sáng tạo trong cách giải bài tập, mạnh dạn trình bày và bảo vệ ý kiến, quan điểm cá nhân.

+Rèn luyện kĩ năng bộ môn Toán.

Cùng những kinh nghiệm của đồng nghiệp, từ thực tế lên lớp, qua những tiết bồi dưỡng học sinh giỏi. Bản thân luôn có sự thử nghiệm, so sánh và ghi chép những điều cần thiết cho tiết dạy sau tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước.

-Thực hiện chuyên đề về “các dạng toán về bất đẳng thức thường gặp ” trong tổ chuyên môn để tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong tổ.

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG – GIẢI PHÁP

I. Thực trạng vấn đề

- Học sinh thường gặp những bài toán về bất đẳng thức mà không biết phải sử dụng phương pháp nào để chứng minh nên lúng túng trong biến đổi,tính toán

- Để có cơ sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức các em cần nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Nếu không dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc

II. Giải pháp: quá trình tiến hành để giải quyết vấn đề

1: CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

1.1 ĐINH NGHĨA

1.2 TÍNH CHẤT

+ A>B

+ A>B và B >C

+ A>B A+C >B + C

+ A>B và C > D A+C > B + D

+ A>B và C > 0 A.C > B.C

+ A>B và C < 0 A.C < B.C

+ 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D

+ A > B > 0 A > B

+ A > B A > B với n lẻ

+ > A > B với n chẵn

+ m > n > 0 và A > 1 A >A

+ m > n > 0 và 0 <A < 1 A < A

+A < B và A.B > 0

1.3 MỘT SỐ HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

+ A 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ Aⁿ 0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ với (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - < A =

+ ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

2.1. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA

KIẾN THỨC : Để chứng minh A > B

Ta chứng minh A –B > 0

Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M

Ví dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng :

a) x + y + z xy+ yz + zx

b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz

c) x + y + z+3 2 (x + y + z)

Giải:

a) Ta xét hiệu

x + y + z- xy – yz - zx

=.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)

=đúng với mọi x;y;z

Vì (x-y)² 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)² 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)² 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x + y + z xy+ yz + zx

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu

x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )

= x + y + z- 2xy +2xz –2yz

=( x – y + z) đúng với mọi x;y;z

Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu

x + y + z+3 – 2( x+ y +z )

= x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1

= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0

Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a) ;b)

c) Hãy tổng quát bài toán

GIẢI

a) Ta xét hiệu

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

c)Tổng quát

Tóm lại các bước để chứng minh AB theo định nghĩa

Buớc 1: Ta xét hiệu H = A - B

Buớc 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+...+(E+F)

Buớc 3:Kết luận A ³ B

2. 2. PHƯƠNG PHÁP DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

LƯU Ý:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.

Chú ý các hằng đẳng thức sau:

Ví dụ 1:

Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

Giải:

(bất đẳng thức này luôn đúng)

Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)

Bất đẳng thức cuối đúng.

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

VÍ DỤ 2:

Chứng minh rằng:

Giải:

a²b²(a²-b²)(a⁶-b⁶) 0 a²b²(a²-b²)²(a⁴+ a²b²+b⁴) 0

Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

VÍ DỤ 3: cho x.y =1 và x.y

Chứng minh

Giải:

vì :xy nên x- y 0 x²+y² ( x-y

x²+y²- x+y 0 x²+y²+2- x+y -2 0

x²+y²+()²- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y-)² 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh

2. 3. PHƯƠNG PHÁPDÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG

1) Các bất đẳng thức phụ:

b) dấu( = ) khi x = y = 0

2)Bất đẳng thức Cô sy: Với

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:

Nếu

Dấu bằng xảy ra khi

VÍ DỤ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng

(a+b)(b+c)(c+a)8abc

Giải:

Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ:

Tacó ; ;

(a+b)(b+c)(c+a)8abc

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

VÍ DỤ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 2) Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z

3)Cho a>0 , b>0, c>0

CMR:

4)Cho x,y thỏa mãn CMR: x+y

VÍ DỤ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng

Giải:

Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

VÍ DỤ 4:

Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

Giải:

Ta có

Do abcd =1 nên cd = (dùng )

Ta có (1) Mặt khác:

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

Vậy

2.4. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẮC CẦU

LƯU Ý: A>B và B>C thì A>C ; 0< x <1 thì x<x

VÍ DỤ 1:

Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d

Chứng minh rằng ab >ad+bc

Giải:

Tacó

(a-c)(b-d) > cd

ab-ad-bc+cd >cd

ab> ad+bc (điều phải chứng minh)

VÍ DỤ 2:

Cho a,b,c>0 thỏa mãn

Chứng minh

Giải:

Ta có :( a+b- c)²= a²+b²+c²+2( ab –ac – bc) 0

ac+bc-ab ( a²+b²+c²)

ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có

VÍ DỤ 3

Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

Giải:

Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab

Do a>0 , b>0 nên ab>0

(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)

Do c <1 nên 1- c >0 ta có

(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)

=1-a-b-c-d+ad+bd+cd

(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

(Điều phải chứng minh

2.5. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA TỶ SỐ

* KIẾN THỨC

1) Cho a, b ,c là các số dương thì

a – Nếu thì

b – Nếu thì

2)Nếu b,d >0 thì từ

VÍ DỤ 1 :

Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng

Giải :

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

(1)

Mặt khác : (2)

Từ (1) và (2) ta có

< < (3)

Tơng tự ta có

(4)

(5)

(6)

cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có

điều phải chứng minh

VÍ DỤ 2 :

Cho:< và b,d > 0 .Chứng minh rằng <

Giải: Từ <

Vậy < điều phải chứng minh

VÍ DỤ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000

tìm giá trị lớn nhất của

GIẢI : Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ :

vì a+b = c+d

a, Nếu :b thì 999

b, Nếu: b=998 thì a=1 =Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999

Vậy giá trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=99

2.6. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI

* LƯU Ý:

Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính

được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

(*) Phuơng pháp chung để tính tổng hữu hạn :

S =

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

Khi đó :

S =

(*) Phuơng pháp chung về tính tích hữu hạn

P =

Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:

Khi đó P =

VÍ DỤ 1 :

Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng

Giải:

Ta có với k = 1,2,3,…,n-1

Do đó:

VÍ DỤ 2 :

Chứng minh rằng:

Với n là số nguyên

Giải :

Ta có

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 > 2

………………

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

2. 7. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

LƯU Ý: Nếu a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

VÍ DỤ: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

a, a²+b²+c²< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

Giải

a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

a²+b²+c²< 2(ab+bc+ac)

b) Ta có a > êb-c ï Þ > 0

b > êa-c ï Þ > 0

c > êa-b ï Þ

Nhân vế các bất đẳng thức ta được

2.8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

VÍ DỤ 1:

Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)

Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =

ta có (1)

(

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh

VÍ DỤ 2:

Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1

Chứng minh rằng

(1)

Giải:

Đặt x = ; y = ; z =

Ta có

(1) Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

3. .

Mà x+y+z < 1

Vậy (đpcm)

Bài tập

1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR:

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

2.9 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI

LƯU Ý :

Cho tam thức bậc hai

Nếu thì

Nếu thì với hoặc ()

với

VÍ DỤ 1:

Chứng minh rằng

(1)

Giải:

Ta có (1)

Vậy với mọi x, y

VÍ DỤ2:

Chứng minh rằng

Giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Ta có

Vì a = vậy (đpcm)

2.10: PHƯƠNG PHÁP DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC KIẾN THỨC:

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi

VÍ DỤ 1:

Chứng minh rằng

(1)

Giải :

Với n =2 ta có (đúng)

Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

BĐT (1) đúng với n = k+1

Thật vậy khi n =k+1 thì

(1)

Theo giả thiết quy nạp

k²+2k<k²+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

2.11. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG

LƯU Ý:

1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G K”

phép toán mệnh đề cho ta :

Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó .

Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo :

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

VÍ DỤ 1:

Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0

Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0

Giải :

Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0

Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0

Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0

Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 b + c < 0

a < 0 và b +c < 0 a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0

Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0

VÍ DỤ 2:

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

Giải : Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được

(1)

Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)

Từ (1) và (2) hay (vô lý)

Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai

VÍ DỤ 3:

Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng

Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1

Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

=x + y + z – () vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z >

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương

Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

3. CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO

3.1. DÙNG ĐỊNH NGHĨA

1) Cho abc = 1 và . . Chứng minh rằngb²+c²> ab+bc+ac

Giải

Ta có hiệu: b²+c²- ab- bc – ac

= b²+c²- ab- bc – ac

= ( b²+c²- ab– ac+ 2bc) +3bc

=(-b- c)² +

=(-b- c)² +>0 (vì abc=1 và a³ > 36 nên a >0 )

Vậy : b²+c²> ab+bc+ac Điều phải chứng minh

2) Chứng minh rằng

b) với mọi số thực a , b, c ta có

Giải :

a) Xét hiệu

H =

H0 ta có điều phải chứng minh

b) Vế trái có thể viết

H =

H > 0 ta có điều phải chứng minh

c) vế trái có thể viết

H =

H 0 ta có điều phải chứng minh

3.2. DÙNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng

Giải :

Ta có (vì xy = 1)

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng

Giải :

Ta có

BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng min

3.3. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1

Chứng minh rằng

Giải :

áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)

Ta có

(vì a+b+c =1 ) (đpcm)

2) Cho a,b,c là các số dương

Chứng minh rằng (1)

Giải : (1)

áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0

Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng

Vậy (đpcm)

3.4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP BẮC CẦU

1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :

Giải :

Do a <1 <1 và b <1

Nên

Hay (1)

Mặt khác 0 <a,b <1 ;

Vậy

Tương tự ta có

(đpcm)

2) So sánh 31 và 17

Giải :

Ta thấy <

Mặt khác

Vởy 31 < 17 (đpcm)

3.5. DÙNG TÍNH CHẤT TỈ SỐ

VD 1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :

Giải :

Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có

(1)

(2)

(3)

Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :

(đpcm)

VD 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác

Chứng minh rằng

Giải :

Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0

Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b

Từ (1)

Mặt khác

Vậy ta có Tương tự ta có

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :

(đpcm)

3.6. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI

VD 1) Chứng minh BĐT sau :

Giải :

a) Ta có

Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có

(đpcm)

b) Ta có

< (đpcm)

4. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

4.1. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

LƯU Ý

- Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A

- Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B

Ví dụ 1 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|

Giải :

Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)

Và (2)

Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4

Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi

(2) Dấu bằng xảy ra khi

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi

Ví dụ 2 :

Tìm giá trị lớn nhất của

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1

Giải :

Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có

x+ y + z

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=

Vậy S

Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z=

Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải :

Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta có

(1)

Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)

Ta có

Từ (1) và (2)

Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z=

Ví dụ 4 :

Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất

Giải :

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đường cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =

Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất

4.2. DÙNG B.Đ.T ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1 :

Giải phương trình sau

Giải :

Ta có

Vậy

Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1

Vậy khi x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

Ví dụ 2 :

Giải phương trình

Giải :

áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :

Dấu (=) xảy ra khi x = 1

Mặt khác

Dấu (=) xảy ra khi y = -

Vậy khi x =1 và y =-

Vậy nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3 :

Giải hệ phương trình sau:

Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có

Vì x+y+z = 1)

Nên

Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =

Vậy có nghiệm x = y = z =

4.3. DÙNG B.Đ.T ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

VD1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn

Giải :

Vì x,y,z là các số nguyên nên

(*)

Mà

Các số x,y,z phải tìm là

Ví dụ 2:

Tìm nghiệm nguyên dương của phơng trình

Giải :

Không mất tính tổng quát ta giả sử

Ta có

Mà z nguyên dương vậy z = 1

Thay z = 1 vào phương trình ta được

Theo giả sử xy nên 1 = mà y nguyên dương

Nên y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phương trình

là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2)

CHƯƠNG III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN

Với phương pháp nghiên cứu như trên tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm“Các dạng toán về bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8,9”

Trước khi viết đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra 15 em học sinh Toán khối 8 của trường thống kê được kết quả như sau:

Khối

Điểm

Số lượng

1à2

3à4

5à6

7à8

9à10

53.3%

33.3%

3.4%

Sau khi giảng dạy đề tài (dạng 1, 2, 3) tôi tiến hành làm bài kiểm tra kết quả thống kê như sau:

Khối

Điểm

Số lượng

1à2

3à4

5à6

7à8

9à10

20%

53,3%

27,6%

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I.Kết luận

Ý nghĩa và hiệu quả thực tiễn:

Sáng kiến kinh nghiệm trên đã được thử nghiệm và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi của trường tôi. Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào giải bài tập nhanh, khoa học, chính xác.Nhiều em còn đề xuất những hướng giải khác và tổng quát hóa bài toán. Các em ngày càng yêu thích môn Toán hơn chính vì thế mà học sinh giỏi môn Toán các cấp của trường tôi ngày càng tăng về số lượng và chất lượng

Tuy nhiên bên cạnh đó một số ít học sinh còn chưa chịu khó nghiên cứu tài liệu và trao dồi học hỏi bạn bè, nên đôi khi còn lúng túng trong việc vận dụng các phương pháp trên.Do đó trong quá trình giảng dạy đề tài tôi luôn kiểm tra, đánh giá cụ thể từng bài, từng em trong từng giai đoạn để việc giảng dạy, bồi dưỡng được tốt hơn.

II.Kiến nghị:

+ Đối với cấp quản lí:Cần tổ chức sinh hoạt chuyên đề về đề tài bất đẳng thức nói riêng và nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao đồi, nghiên cứu nhiều hơn.

+ Đối với giáo viên:Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung bất đẳng thức đối với cấp THCS để việc giảng dạy và áp dụng được tốt hơn.

Với sự cố gắng thực hiện tích cực các tiết dạy về bất đẳng thức, Trong nhiều năm qua bản thân đã tích góp được một số kinh nghiệm cần thiết. Mong rằng sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho đồng nghiệp tham khảo, tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Sự đóng góp ý kiến của quí thầy cô cho đề tài sẽ là nguồn khích lệ, động viên lớn lao cho bản thân ngày càng cố gắng hơn nữa, cống hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục.