RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY LÔGIC CHO HỌC SINH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC CHỨNG MINH TOÁN HỌC

 

PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ

          I. CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI

          1. Cơ sở lí luận.

Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán, suy lý trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính là tư duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác, lập luận có căn cứ. Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và  Toán học là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật của tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn lôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy  tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Vì thế Toán học được coi là " môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm Văn Đồng).

          Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có  sự suy nghĩ chính xác thì mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán  là một vấn đề tối thiểu cần thiết và rất  đáng để  đầu tư công sức.

          2. Cơ sở thực tiễn.

         Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic. Cụ thể là : Mô tả(không định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh chưa chặt chẽ. Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic, hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một chuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ. Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các kiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của chương trình. Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ giữa các mệnh đề toán học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết, vận dụng các kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng. Như vậy, rõ ràng học sinh phải biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụng kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáo khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh. Bằng chứng cụ thể là trong chương trình toán ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán  đã được đưa vào sử dụng(Chẳng hạn: , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủ định, chứng minh phản chứng... ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương trình không có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic toán học. Các kí hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán  được giới thiệu và hình thành dần dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúng thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng). Các phương pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấm ngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng  chúng trong quá trình học tập bộ môn.

3. Tính cấp thiết:

Khả năng tư duy lôgic không chỉ là cái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán. Tuy nhiên, như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic toán học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo khoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến  một cách thường xuyên nhưng vì không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.

Kết quả khảo sát đầu năm:

	Tỷ lệ số học sinh giải được	Tỷ lệ số học sinh chưa giải được
Đầu năm	45%	55%

          4. Lý do về mặt năng lực nghiên cứu

Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông  nói chung, học sinh THCS nói riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôi luôn  để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra rằng khi học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và đó  cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em . Vì tất cả lý do nêu trên nên tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học".

Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS  nhiều năm qua và cả trong quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình  trong việc nâng cao năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo hiệu  phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành bản sáng kiến kinh nghiệm này.

II. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1. Mục đích:

Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh  kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng tư duy lôgic toán  học nói riêng thông qua loại toán chứng minh ở THCS. Đồng thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thì càng góp phần  kích  thích  sự hứng thú và  làm tăng lòng say mê môn Toán ở các em.

2. Đối tượng nghiên cứu

    Học sinh các khối 7 trường THCS Thượng Lâm – Mỹ Đức - Hà Nội

3. Phương pháp nghiên cứu

Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh THCS trong khi học loại  toán chứng minh.

III. PHẠM VI THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

         Phạm vi nghiên cứu: Toán trung học cơ sở

         Thời gian nghiên cứu là bắt đầu ngay từ khi tiếp nhận lớp ngay từ đầu năm học đến khi kết thúc năm học 2019-2020. Nghiên cứu trong một năm học

             IV. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM:

             Học sinh lớp 7 mà tôi đang giảng dạy.

            

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

             I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 

             1. Tư duy lôgic như đã nói ở trên là "chìa khoá" để tối ưu hoá khả năng phát triển cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả.

             2. Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó.

          3. Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình huống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựa hợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưu nhất.

Vì vậy tôi đã chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học" nhằm giúp học sinh có những tư duy logic, sáng tạo khi giải quyết các vấn đề thực tiễn. Phát triển nâng cao khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình huống cụ thể.

             II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

             Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi thường xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách diễn đạt, trình bày của các em trong mỗi vấn đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra. Kết quả cho thấy ở đa số học sinh thể hiện  rõ sự non yếu, thiếu chặt chẽ . Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có thể xảy ra . Đặc biệt là khâu trình bày tự luận ở các bài toán đòi hỏi suy luận, chứng minh cho thấy học sinh vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khả năng tư duy lôgic toán học còn non kém.

             Chẳng hạn:

             * Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em đều biết:"Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó"

Và   " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"

             Tuy nhiên khi hỏi học sinh: " Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "

             Học sinh chỉ trả lời  được:" Muốn  chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số"  

             Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.

             * Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau: "x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4".

             Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết:     x > 3 và x <4 . Thậm chí có em còn viết sai:   x < 3 > 4

             (Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" - một vấn đề rất cơ bản của lôgic toán học. Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo viên không thể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng ngôn ngữ dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn).

             * Ngay cả ở học sinh  lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên. Thí dụ khi giải phương trình tích.

Tôi đã gặp học sinh trình bày thường mắc lỗi về sử dụng dấu "" cả lỗi  về dấu " "

             ( Thực chất của dấu "" là phép "Kéo theo" , dấu " " hay liên từ "và " là "Phép tuyển" trong lôgic toán học  )

         * Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc nhiều lỗi không kém.Ví dụ:

         Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB" Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB".

         Hoặc từ tính chất:  "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau".  Nhiều học sinh đã sai lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"

Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy diễn không hợp lôgic. v.v và v.v...

Không chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đon vị bạn đều phản ánh thực trạng chung như thế. Thực tế khi tham gia chấm bài  các đợt khảo sát chất lượng, thi tốt nghiệp THCS thậm chí cả thi chọn học sinh giỏi cũng gặp những sai lầm tương tự do quá trình  tư duy không hợp  lôgic mang lại.

III. CÁC GIẢI PHÁP

1. Tìm hiểu thực tế  mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.

Khi tìm hiểu thực tế tôi thấy: Những học sinh học tốt môn Toán là những em có  khả năng tư duy lôgic. Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyên khả năng này thì hiệu quả học tập môn Toán được nâng lên rõ rệt. Đặc biệt những học sinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em thực sự có  có khả năng tư duy lôgic.

2. Phân tích những  nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có thể thực hiện  hoạt động rèn luyện tư duy lôgic cho các em.

Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều "ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic. Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện tập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thức khai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phù hợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy. Tuy nhiên về mặt lý luận cũng như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy  qua hoạt động suy luận, chứng minh toán học thì khả  năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.

3. Thu thập, phân tích, tổng  hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.

Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn ...tôi rút ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán học tốt qua loại toán chứng minh.

a. Trước hết cho học sinh tiếp cận với pp chứng minh trực tiếp:

Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán. Sau đó dần dần hình thành ở các em  kỹ năng sử dụng các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.

a.1.  Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí hiệu, hình vẽ  và ngược lại.

Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường  sang kí hiệu toán học, hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện khả năng tư duy có lôgic.

a.2. Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực tiếp.

Ví dụ 1:"Nếu hai số nguyên a, b chia hết cho số nguyên c thì a + b chia hết cho c".

* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau

 

a : m

b : m

                                    (Với a,b,m  Z)                               (GT)

 

                                     (GT) 

 

a = m.k

b = m.q

                        (Khái niệm)                                            (Khái niệm)

 

 

                                      (k  Z) )                                           (q Z)

 

 

 

 

 

 

                                                                     (Tính chất phân phối của phép                 

 

a + b = m (k +q)

                                                                            nhân đối với phép cộng)      

 

 

                                                                  

 

a + b : m

                                                                      (khái niệm )          

 

                                                                                                 (KL)                   

 

                                                                                                 

             Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài toán  một cách có cơ sở hơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn. Như vậy các em đã bước đầu biết suy nghĩ, phân tích bài toán để tìm cách giải một cách lôgic.\

             Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài toán như hướng dẫn trên giáo viên cho các  em làm các bài tập củng cố kỹ năng :

             Bài tập tương tự:

             Hãy trình bày chi tiết phép chứng minh các mệnh đề sau dưới dạng một sơ đồ:

             a) Các đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau.

             b) Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn.

             * Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc thông dụng là  thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lĩnh hội một cách ẩn tàng, giáo viên cần quan tâm đến việc dùng những ví dụ cụ thể để giúp các em có thêm vốn tri thức phương pháp về các cách chứng minh khác như bác bỏ một mệnh đề hoặc chứng minh gián tiếp.

             b. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề  .

             Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A  là sai bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do đó mệnh đề A sai.Tuy nhiên vẫn phải thông qua hệ thống ví dụ để hình thành phương pháp.

             Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của nó"

             * Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu:   x (x² = x).

             * Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn  x = 2 ) khi đó  mệnh đề B là: 2² = 2.   Nhưng do 2² = 4 nên mệnh đề trên là sai.

             Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.

             4. Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng.

             Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên hướng dẫn  cho các em cách suy luận hợp lý trong giải toán.

             Ví dụ 3: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".

             Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P QR Vì vậy giáo viên cần làm cho học sinh thấy rõ cấu trúc: thông qua cách viết : (ac) và (bc) suy ra (a//b)

             Để chứng minh gián tiếp ta hướng dẫn học sinh phân tích mối quan hệ giữa a và b. Xét các khả năng xảy ra trong bài toán:

-  a// b

-  a cắt b

Từ đó lập phủ định của mệnh đề này, tức là: (ac) và (bc) suy ra (a không song song với b)   (giả sử a cắt b tại I )

Ta có                      Qua I có hai đường thẳng a, b cùng          

               a cắt b tại I                        vuông góc với c (S)

    Mệnh đề S sai vì trái với định lý đã được chứng minh (Qua một điểm cho trước, có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước). S sai, vậy :  là sai

         Do đó là đúng.

         Trong một số trường hợp  ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh trực tiếp mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho.

         Ví dụ 4: Chứng minh rằng: "Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn".

Về mặt lôgic ta có thể viết gọn:  (B >C) (AC > AB)  (Theo hình vẽ)

Về phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh xét các khả năng xảy ra về quan hệ giữa AC và AB:

- AC = AB

- AC < AB

- AC > AB

Từ đó suy ra cần chứng minh :

(AC không lớn hơn AB)  (B không lớn hơn C)

Lưu ý:

- Cần giúp học sinh thấy rõ phép chứng minh trực tiếp(phản chứng) và phép chứng minh gián tiếp không tách rời nhau. Trong chứng minh gián tiếp một mệnh đề nào đó, ta thường phải chứng minh trực tiếp một mệnh đề trung gian, cũng như trong chứng minh trực tiếp một mệnh đề nào đó nhiều khi ta phải chứng minh một số mệnh đề trung gian bằng phản chứng.

- Thông thường phương pháp chứng minh gián tiếp hay được dùng để chứng minh các định lý đảo (Dựa vào kết quả của định lý thuận) và khi chứng minh các mệnh đề có dạng " Có ít nhất một .... "...

 Sau việc hướng dẫn qua ví dụ cụ thể giáo viên cần cho các em được thử sức bằng các bài tập tương tự:

Bài tập tương tự:

1. Hãy trình bày thành sơ đồ phép chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề sau đây và xét xem ta đã dùng hình thức nào (Bác bỏ phủ định của mệnh đề phải chứng minh hay chứng minh mệnh đề phản đảo):

a) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

b) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

c) Không có số hữu tỉ nào bình phương lên lại bằng 2.

d) Ở nước Việt Nam có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh, giờ sinh.

Ngoài ra, cũng cần để ý rằng, trong giải toán các em thường mắc nhiều sai lầm do vận dụng sai quy tắc lôgic. Vì thế không thể xem nhẹ vấn đề này,giáo viên cần thống kê các sai lầm của học sinh qua các bài kiểm tra, các lần trình bày bài làm của các em và rút ra những sai lầm cơ bản nhất liên quan đến khả năng tư duy lôgic từ đó giúp các em t