VẬN DỤNG PHÉP QUY NẠP VÀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN THCS
05/11/2024
Chia sẻ
VẬN DỤNG PHÉP QUY NẠP VÀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN THCS
ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN MỸ ĐỨC
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THƯỢNG LÂM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG PHÉP QUY NẠP VÀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG TOÁN THCS
Lĩnh vực/ Môn: Toán
Cấp học: Trung Học Cơ Sở
Tên Tác giả: Kim Anh Tuấn
Đơn vị công tác: Trường Trung Học Cơ Sở Thượng Lâm
Chức vụ: Giáo Viên
Năm học: 2019 – 2020
MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ…. 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Thời gian nghiên cứu 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 3
1.1. Quy nạp hoàn toàn và không hoàn toàn 3
1.1.1. Quy nạp hoàn toàn 3
1.1.2. Quy nạp không hoàn toàn 4
1.2. Phương pháp quy nạp toán học 5
1.2.1. Nhận xét quy nạp không hoàn toàn 5
1.2.2. Nguyên lý quy nạp toán học 6
1.2.3 Ví dụ 6
1.2.4 VD áp dụng không đúng phương pháp quy nạp toán học 6
PHẦN 2: GIẢI PHÁP 7
2.1 Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn trong cm một mệnh đề toán học 7
2.2 Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để cm một mệnh đề toán học 7
2.2.1 Phát hiện quy luật và chứng minh quy luật đó 8
2.2.2 Vận dụng vào giải toán chia hết 8
2.2.3 Vận dụng vào chứng minh dồng nhất thức 9
2.2.4 Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức 9
2.2.5. Vận dụng vào các bài toán hình học 10
2.3. Bổ xung 11
PHẦN 3: HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 12
3.1. Một số bài kiểm tra 12
3.2. Hiệu quả của đề tài 12
III. KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ 13
1. Kết luận 13
2. Bài học sư phạm 14
3. Một số ý kiến đề xuất 14
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO 14
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học suy diễn. Các kết luận Toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ. Nhưng trong quá trình hình thành, trước khi có những kết luận mang tính tổng quát, toán học cũng đã phải tiến hành xét các trường hợp cụ thể, riêng biệt. Ta phải đối chiếu các quan sát được, suy ra các điều tương tự, phải thử đi thử lại ... để từ đó dự đoán về một định lý toán học, trước khi chứng minh chúng. Bên cạnh đó, ta phải dự đoán ra ý của phép chứng minh trước khi đi vào chứng minh chi tiết.
Hiện nay, chúng ta đang tiến hành đổi mới giáo dục. Để công cuộc đổi mới thành công thì phải gắn chặt việc đổi mới nội dung chương trình – SGK với việc đổi mới phương pháp giảng dạy. Một trong các xu hướng đổi mới phương pháp giảng dạy môn Toán hiện nay là dạy cho học sinh biết dự đoán, dạy cho học sinh biết suy luận có lý.
Thực tế là các sách giáo khoa Toán bậc THCS hiện nay, cấu trúc một bài học thường là:
Phần 1. Xét các các trường hợp cụ thể: tính toán, đo đạc, so sánh, … trên các đối tượng khác nhau.
Phần 2. Dự đoán kết luận khái quát: nêu ra một mệnh đề tổng quát.
Phần 3. Chứng minh ( hoặc công nhận ) mệnh đề tổng quát, tuỳ đối tượng và trình độ học sinh.
Phần 4. Các ví dụ và bài tập vận dụng.
Như thế học sinh được quan sát, thử nghiệm, dự đoán rồi bằng suy luận để đi đến kiến thức mới, sau đó vận dụng kiến thức mới vào các tình huống khác nhau. Chúng ta xét một số bài học cụ thể sau:
Mục 4 ( trang 13 SGK Toán 7 tập I ). Giá trị tuyệt đối của một số…
Sau khi đưa ra định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số, SGK đưa ra bài tập ?1 điền vào chỗ trống.Để từ đó phân tích, nhận xét, đưa ra kết quả tổng quát:
Kết quả này được công nhận, không chứng minh. Sau đó là các bài tập vận dụng.
Mục 1 ( trang 106 SGK Toán 7 tập I ). Tổng ba góc của một tam giác.
SGK yêu cầu học sinh vẽ hai tam giác bất kỳ, đo và tính tổng ba góc trong của mỗi tam giác rồi nêu nhận xét. Từ đó đưa ra dự đoán về tổng ba góc trong một tam giác . Sau đó chứng minh dự đoán này, tiếp theo là các bài tập vận dụng
Mục 2 ( trang 8 SGK Toán 9 tập I ). Căn bậc hai và HĐT .
Để dẫn đến định lý: Với mọi số a ta cố: , SGK yêu cầu học sinh điền số thích hợp vào bảng:
a -2 -1 0 2 3
a 2
Từ đó nhận xét, khái quát hoá để đưa ra định lý. Sau khi phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý bằng suy luận chặt chẽ. Sau đó là các bài tập vận dụng.
Bên cạnh đó, trong nội dung ôn luyện Toán cho học sinh giỏi, một trong những chuyên đề không thể thiếu được là chuyên đề: “ Phương pháp quy nạp Toán học ”. Bởi vì, thông qua việc giảng dạy chuyên đề này, người thầy dạy Toán đã:
1) Cung cấp cho học sinh một hướng suy nghĩ trong việc tìm tòi lời giải các bài toán;
2) Giúp học sinh giải được một lớp các bài toán Số học, Đại số và Hình học thuộc đủ các dạng bài toán: chia hết, chứng minh đồng nhất thức, chứng minh bất đẳng thức, ... mà trong đó có liên quan đến tập hợp các số tự nhiên;
3) Đồng thời qua việc nghiên cứu các mệnh đề toán học bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, mà việc chứng minh chúng chỉ cần xét một số hữu hạn các trường hợp theo một lôgic chặt chẽ và chính xác, đã mở rộng tư duy lôgic cho các em học sinh, giúp các em say mê, hứng thú học Toán hơn.
Với tất cả lý do nêu trên nên tôi đã chọn lựa đề tài: “ Vận dụng phép quy nạp và phương pháp quy nạp trong chứng minh một số dạng toán trung học cơ sở”
2. Thời gian nghiên cứu
Thời gian nghiên cứu là bắt đầu ngay từ khi tiếp nhận đầu năm học đến khi kết thúc năm học 2019-2020. Nghiên cứu trong một năm học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Một số học sinh các khối 6,7, 8,9 trường THCS Thượng Lâm - Mỹ Đức - Hà Nội
Số liệu khảo sát
Khối 6, 7: Kiểm tra 20 em. Kết quả:
Tổng số Điểm 9 - 10 Điểm 7 – 8,5 Điểm 5 – 6,5 Điểm <5
20 1 6 5 8
Khối 8,9: Kiểm tra 20 em. Kết quả:
Tổng số Điểm 9 - 10 Điểm 7 – 8,5 Điểm 5 – 6,5 Điểm <5
20 1 3 8 8
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
* Lý thuyết:
Định nghĩa về phương pháp quy nạp trong toán học.
+ Quy nạp hoàn toàn.
+ Quy nạp không hoàn toàn.
* Các dạng toán:
Dạng 1: Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn trong chứng minh một mệnh đề toán học
Dạng 2: Vận dụng vào giải toán chia hết.
Dạng 3: Vận dụng vào việc chứng minh đồng nhất thức.
Dạng 4: Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức.
Dạng 4: Vận dụng vào chứng minh giải các bài toán hình học.
1.1. Quy nạp hoàn toàn và không hoàn toàn:
1.1.1 Quy nạp hoàn toàn
Danh từ “quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó được dùng để chỉ các quy luật nhờ đó mà thu được các kết luận tổng quát, dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt.
Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có.
Ví dụ 1: Chúng ta xác lập rằng :
“ Mỗi số chẵn n trong khoảng đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố ”.
Muốn vậy chúng ta phân tích:
4 = 2+2
6 = 3+3
......
98 = 93+5
100 = 97+3
Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rằng, thực tế mỗi số chẵn trong khoảng xét được biểu diễn duới dạng tổng của 2 số nguyên tố.
1.1.2 Quy nạp không hoàn toàn:
Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa trên sự kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra mà chỉ trên cơ sở một số đủ lớn các trường hợp thì ta có quy nạp không hoàn toàn.
Quy nạp không hoàn toàn được vận dụng nhiều trong các khoa học thực nghiệm. Chẳng hạn bằng cách đó người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn khối lượng: định luật này được Lômônôxôp phát biểu và chỉ được thừa nhận khi Lavoadie đã kiểm tra sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ lớn và trong các điều kiện đủ khác nhau.
Trong toán học, quy nạp không hoàn toàn không được xem là một phương pháp chứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ được áp dụng rất hạn chế. Bởi vì một mệnh đề toán học bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng con người ta không thể tiến hành kiểm tra một số vô hạn các trường hợp được.Chẳng hạn sau khi có kết quả đúng với 49 trường hợp như ở ví dụ 1, ta chưa thể đưa ra kết luận rằng, mọi số tự nhiên chẵn đều có thể phân tích được thành tổng của hai số nguyên tố.
Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn là một phương pháp “gợi mở” rất hiệu lực để tìm ra chân lý mới. Chúng ta hãy tham khảo một vài ví dụ.
Ví dụ 2: Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên.
Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:
+ với n=1 : 1=1 mà
+ với n=2 : 1+3=4 mà
+ với n=3 : 1+3+5=9 mà
+ với n=4 : 1+3+5+7=16 mà
+ với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà
Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta nảy ra kết luận tổng quát :
1+3+5+7+9+...+(2n-1) = (1)
tức là : “ tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng ”.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, suy luận bằng quy nạp đôi khi dẫn đến kết luận sai, như ví dụ sau:
Ví dụ 3: Khi nghiên cứu hiệu của một số có 2 chữ số trở lên với số có cùng các chữ số như thế nhưng viết theo thứ tự ngược lại. Trong trường hợp các số có 2 chữ số, 3 chữ số ta thấy kết luận là các hiệu đó chia hết cho 9 và 99. Cụ thể là:
Nảy ra kết luận quy nạp là:
Kết luận này sai vì chẳng hạn ta có:
2231-1322 = 909 không chia hết 999
1.2. Phương pháp quy nạp toán học.
1.2.1 Như vậy, quy nạp không hoàn toàn là một trong những con đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu một số hữu hạn các trường hợp riêng để tìm ra quy luật tổng quát. Thế nhưng, như ta đã biết quy nạp không hoàn toàn thường dẫn đến các kết quả sai.
Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng đắn,
chẳng lẽ ta lại cứ thử tiếp, thử tiếp cho đến khi nào gặp một trường hợp riêng mà kết luận đó không đúng. Và lấy gì để đảm bảo rằng số lần thử là hữu hạn.
Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế ta áp dụng một phương pháp suy luận đặc biệt được gọi là “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay thế những hình dung tìm tòi theo phương pháp quy nạp không hoàn toàn bằng sự chứng minh chặt chẽ.
Ví dụ 4 : Xét lại công thức (1) ở ví dụ 2.
Giả sử ta đã chứng minh được công thức đó với n =7, khi chứng minh công thức này với n = 8, ta không cần phải tính tổng của 7 số hạng đầu của tổng:
mà ta đã biết rằng
do đó có thể viết ngay:
Tổng quát, sau khi chứng minh công thức trên với n = k (nghĩa là ta có ), ta chứng minh nó với bằng cách:
Có thể sử dụng phương pháp tổng quát này sau khi đã xét ; những việc chuyển từ các đẳng thức khác :
; v...v là các trường hợp riêng của phép tính. Khái quát những điều nói trên, chúng ta phát biểu quy tắc tổng quát như sau: Để chứng minh một mệnh đề tổng quát nào đó đúng với đúng với mọi số , ta chỉ cần:
a) Xác lập mệnh đề đúng với n =1
b) Chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng với n = k ( ) thì mệnh đề đúng với n = k+1. Tính hợp pháp của phương pháp chứng minh như thế là “hiển nhiên”. Nhưng sự “hiển nhiên” đó không phải là một chứng minh chặt chẽ. Người ta đã chứng minh được rằng mệnh đề tổng quát ở trên có thể được chứng minh xuất phát từ một số mệnh đề tổng quát khác, được thừa nhận là tiên đề.
Tuy nhiên, bản thân các tiên đề này cũng không rõ ràng hơn các nguyên lý quy nạp mà chúng ta sẽ trình bày dưới đây, do đó chúng ta coi nguyên lý quy nạp toán học này chính là tiên đề thì mức độ “ hợp pháp ” cũng ngang như thế.
1.2.2. Nguyên lý quy nạp toán học:
Một mệnh đề phụ thuộc vào n ( ) được coi là đã được chứng minh với mọi số n nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
a. Mệnh đề đúng với n = 1
b. Từ sự đúng đắn của mệnh đề với một số tự nhiên n = k nào đó thì suy ra sự đúng đắn của nó với n = k+1
1.2.3 Ví dụ: Sau đây chúng ta xét một vài ví dụ sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh các mệnh đề toán học.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
Giải:
a) Ta có với
Do đó mệnh đề đúng với n = 1
b) Giả sử rằng mệnh đề đúng với n = k ( ) tức là đã chứng minh được rằng:
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1. Nghĩa là phải chứng minh:
Thật vậy, ta có:
Từ đó theo nguyên lý quy nạp toán học ta có :
với mọi .
1.2.4 Ví dụ áp dụng không đúng phương pháp quy nạp toán học.
Ví dụ 6: Xét mệnh đề : “ Bất kỳ một tập hợp hữu hạn các số tự nhiên nào cũng gồm toàn những số bằng nhau”.
Chứng minh:
Ta tiến hành quy nạp theo số phần tử của tập hợp.
a) Với n = 1, mệnh đề là hiển nhiên : mỗi số luôn bằng chính nó.
b) Giả sử mệnh đề đã được chứng minh với tập hợp có k phần tử. Lấy tập hợp có k +1 phần tử ; ; ;...; ; . Theo giả thiết quy nạp ta có = =...= , cũng theo giả thiết quy nạp thì ta có : = =...= = ;
từ đó = = =...= = .
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra mệnh đề trên đúng.
* Sai lầm của suy luận trên là ở chỗ chỉ có thể chuyển từ k đến k+1 với ; nhưng không thể chuyển từ n = 1 đến n = 2 bằng suy luận này được.
PHẦN 2. GIẢI PHÁP
2.1. Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn trong chứng minh một mệnh đề toán học
Một kết quả tổng quát được chứng minh trong tong trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp, vét hết các khả năng có thể xảy ra thì kết quả đó được chứng minh hoàn toàn.
Ta xét một số ví dụ:
Ví dụ 1: Để chứng minh mệnh đề: “ Phương trình ( m – 1 )x2 – 2( 2m – 1) x + 3m = 0 (1) luôn có nghiệm với mội giá trị của tham số m. ”
Ta xét 2 trường hợp:
1) Với m = 1, PT (1) trở thành -2x + 1 = 0; PT này có nghiệm x = .
Như vậy trong trường hợp m = 1, mệnh đề trên đúng.
2) Với m 1, PT (1) là PT bậc hai có
= ( 2m – 1 )2 –( m – 1 ).3m = m2 –m + 1 > 0 với mọi giá trị của m.
Do đó PT ( 1) có hai nghiệm phân biệt. Nghĩa là trong trường hợp này, PT
(1) cũng có nghiệm.
Rõ ràng hai trường hợp trên ta đã xét hết các khả năng có thể có của m.
Vậy PT (1) có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 2: Để chứng minh định lý về tính chất của góc nội tiếp:
“ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn ”. ( Trang 73 – SGK Toán 9 – Tập II ).
Để chứng minh đinh lý này, ta đã xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1, Tâm đường tròn nằm trên một cạnh của góc.
Trường hợp 2. Tâm đường tròn nằm bên trong góc.
Trường hợp 3. Tâm đường tròn nằm bên ngoài góc.
Định lý được chứng minh trong trong trường hợp thì ta có thể nói là định lý đã được chứng minh hoàn toàn vì 3 trường hợp trên đã vét hết các khả năng có thể xảy ra.
2.2. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh một mệnh đề toán học
2.2.1. Phát hiện quy luật và chứng minh quy luật đó.
Ở các phần trước, chúng ta đã làm quen với một vài ví dụ về việc tìm tòi phát hiện ra các quy luật (ví dụ 2, ví dụ 3).
Sau đây chúng tôi đưa thêm vài bài khác, trong đó, sau khi phát hiện ra quy luật, chúng ta sử dụng nguyên lý quy nạp để chứng minh.
Bài toán 1: Tính tổng
Giải :
* Tìm tòi :
Xét ;
;
* Dự đoán :
* Chứng minh dự đoán :
a) Với n = 1 ta có
=> dự đoán đúng.
b) Giả sử với n = k ta có trong đó bất kỳ.
Ta phải chứng minh với n = k+1 thì:
Thật vậy, ta có
Từ đó theo nguyên lý quy nạp toán học ta có với .
tức là dự đoán của chúng ta đúng.
2.2.2. Vận dụng vào giải toán chia hết :
Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có:
Giải :
Đặt
+ Với n = 1 => => với n = 1, mệnh đề đúng.
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k ( ) nghĩa là ta có hay => (*)
Với n = k+1 ta có :
Tức là với n = k+1 thì mệnh đề cũng đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có:
2.2.3. Vận dụng vào việc chứng minh đồng nhất thức.
Bài toán 3: Chứng minh rằng:
(1) với mọi giá trị của .
Giải:
Ta có với do đó đẳng thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử ta đã có (2) ta sẽ chứng minh khi đó : (3)
Thật vậy, ta có
Do đó theo nguyên lý quy nạp thì đẳng thức luôn đúng với ;
2.2.4. Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức :
Bài toán 4: Chứng minh rằng với .
Giải:
Khi n = 3 bất đẳng thức (1) đúng vì
Giả sử rằng với ta có (2)
Ta phải chứng minh (3)
Thật vậy ta có : (áp dụng (2))
(vì với )
Bất đẳng thức (3) đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học thì: với .
Bài toán 5: Chứng minh bất đẳng thức sau với :
(1)
(vế trái của bất đẳng thức (1) là tổng của các phân số mà mẫu số tăng liên tiếp từ n+1 đến 3n+1; ví dụ với n = 3 thì bất đẳng thức (1) có dạng:
vì n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 = 3.3+1 = 10).
Giải :
Khi n = 1 ta có bất đẳng thức đúng :
Giả sử với n = k ta có: (2)
Ta sẽ chứng minh với n = k+1 thì có: (3)
Thật vậy ta có :
do theo (2) : => (3) đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học thì:
với .
2.2.5. Vận dụng vào các bài toán hình học
Bài toán 6: Chứng minh rằng n đường thẳng khác nhau trên một mặt phẳng đi qua một điểm chia mặt phẳng ra 2n phần.
Giải:
* Với n = 1 thì mệnh đề khẳng định là đúng, vì 1 đường thẳng chia mặt phẳng ra 2 phần.
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k nào đó, nghĩa là với k đường thẳng
khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2k phần.
Để chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1 đường thẳng, ta nhận xét rằng nếu dựng đường thẳng thứ k + 1, đi qua điểm đã cho và không trùng với đường thẳng nào thì sẽ tạo thêm 2 phần nữa của mặt phẳng; và như vậy số phần mặt phẳng tạo bởi k + 1 đường thẳng khác nhau cùng đi qua 1 điểm là 2k + 2 =
2( k + 1 )
Theo nguyên lý quy nạp toán học thì mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.
Bài toán 7: Chứng minh rằng tổng các góc trong của một n-giác lồi bằng ( n – 2 ) 1800.
Giải:
* Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: Tổng các góc trong của một tam giác bằng ( 3 – 2 ).1800 = 1800.
* Giả sử mệnh đề đúng tất cả k-giác, với k < n. Ta chứng minh nó cũng đúng với mọi n – giác.Ta nhận thấy một n – giác có thể chia thành 2 đa giác bởi một đường chéo, nếu số cạnh của một đa giác đó là m + 1 thì số cạnh của đa giác kia là n – m + 1 và cả 2 số đó đều nhỏ hơn n. Do đó tổng các góc trong của các đa giác đó tương ứng bằng ( m – 1 ).1800 và ( n – m - 1 ) .1800. Khi đó tổng các góc của n – giác bằng tổng các góc trong của các đa giác đó, tức là bằng:
( m – 1 + n – m - 1 ).1800 = ( n – 2 ) .1800.
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học thì mệnh đề đúng với mọi n 3.
2.3. Bổ xung: Một số dạng nguyên lý quy nạp toán học
Chúng ta xét một số dạng nguyên lý quy nạp khác, được phát biểu dưới dạng các định lý 2 và định lý 3. Sau mỗi định lý chúng tôi tuyển chọn một số bài toán minh hoạ.
Định lý 2. Cho p là số nguyên dương và dãy các mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); …
Nếu: A) P(1); P(2); …; P(p) là những mệnh đề đúng và B) Với mỗi số tự nhiên k p các mệnh đề P(k-p+1); P(k-p+2); …; P(k) dúng, suy ra mệnh đề P(k+1) cũng đúng
Thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số nguyên dương n. Chứng minh định lí này hoàn toàn lặp lại như định lí 1.1. Sau đây ta xét một số ví dụ sử dụng dạng định lí 2.1.
Bài toán 2.1: Cho và với mỗi số tự nhiên k có đẳng thức như sau chứng minh rằng
Giải:
Bước cơ sở: Với n=0 và n=1 kết luận bài toán đúng, do đk bài đã cho.
Bước quy nạp: Giả sử rằng khi đó
Theo nguyên lí quy nạp toán học dạng định lí 2.1, suy ra đúng với mọi số tự nhiên n.
Bài toán 2.2: Cho và là nghiệm của phương trình ; n là số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng tổng không chia hết cho 715.
Giải:
Theo công thức Viet .
Bước cơ sở: Các số và đều không chia hết cho 715.
Suy ra mệnh đề của bài toán đúng với n=1, 2, 3.
Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n=k-2, n=k-1, n=k ta tính
Do đó không chia hết cho 715, vì 378 không chia hết cho 715, nói cách khác mệnh đề đúng với n=k+1.
Định lý 3. Cho dãy các mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); …
Nếu: A) P(1) những mệnh đề đúng và
B) Với mỗi số tự nhiên n 1 các mệnh đề P(1); P(2); …; P(k) dúng, suy ra mệnh đề P(k+1) cũng đúng
Thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số nguyên dương n.
Dạng này khác với các dạng trước là giả thiết mạnh hơn ở bước quy nạp. Ta giả thiết tất cả khẳng định P(1), P(2),…,P(k) đúng suy ra P(k+1) cũng đúng. Dễ dàng chứng minh hai cách phát biểu định lý 1.1 và định lí 2.2 tương đương nhau. Nhưng trong thực tế áp dụng vào bài toán cụ thể dùng định lí 2.2 dễ dàng giải hơn.
Bài toán 3. 1: Chứng minh rằng nếu là số nguyên thì cũng là số nguyên với mọi số tự nhiên n.
Giải:
Bước cơ sở: Khi n=1 mệnh đề hiển nhiên đúng.
Bước quy nạp: Giả sử với mọi số tự nhiên từ 1 đến k, là những số nguyên. Ta cần chứng minh rằng cũng là một số nguyên.
Thật vậy
Theo giả thiết cả 3 biểu thức , , đều biểu diễn các số nguyên . Vậy cũng là một số nguyên.
PHẦN 3. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
3.1. Một số bài kiểm tra:
Tôi đã chọn ra một số bài toán để các bạn tự kiểm tra sau khi nghiên cứu chuyên đề này, hoặc có thể lấy làm đề kiểm tra cho học sinh. ( in trong tập đính kèm)
3.2. Hiệu quả của đề tài:
a) Kết quả các bài kiểm tra:
Tôi đã chọn các bài kiểm tra cho các em sau khi học xong chuyên đề này ( tuỳ theo mức độ đối với từng khối lớp):
Khối 6, 7: Kiểm tra 20 em bài 2. Kết quả:
Tổng số Điểm 9 - 10 Điểm 7 – 8,5 Điểm 5 – 6,5 Điểm <5
20 7 9 3 1
Khối 8,9: Kiểm tra 20 em các bài 1 và bài 5. Kết quả:
Tổng số Điểm 9 - 10 Điểm 7 – 8,5 Điểm 5 – 6,5 Điểm <5
20 9 9 2 0
b) Việc thực hiện thường xuyên: Phép quy nạp trong các giờ học chính khoá đã làm cho các giờ học sôi nổi hơn, học sinh rất thich thú. Bản thân giáo viên cũng rất phấn khởi, bỏ được tâm lý cho rằng sách giáo khoa qua tải, đã tập trung vào việc khai thác SGK gắn với việc cải tiến phương pháp giảng dạy.
III. KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
a) Thuận lợi - khó khăn:
- Thuận lợi: Do được trực tiếp giảng dạy tại trường THCS Thượng Lâm tôi cũng đã phần nào nắm được khả năng lực học chung của các em học sinh. Mặt khác đươc nhà trường tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện nghiên cứu áp dụng thực tế sáng kiến kinh nghiệm này.
- Khó khăn: Do phương pháp chứng minh bằng phương pháp quy nạp trong toán học không phải là 1 phương pháp mới tuy nhiên các em học sinh chưa áp dung nhiều trong giải toán. Vì vậy ngoài giới thiệu phương pháp tôi còn phải chú ý tới phương pháp giảng dạy giúp các em hiểu rõ và tự tìm ra hướng giải quyết chứng minh vấn đề.
b) Thành công và hạn chế
Mặc dù áp dụng phương pháp quy nạp trong giải toán là 1 phương pháp hiệu quả, giải quyết được hầu hết các bài toán mang tính tổng quát trừu tượng. Tuy nhiên do đối tượng học sinh được tham gia vào áp dụng đề tài còn hạn chế ( 40 học sinh ở 4 khối lớp) nên vẫn còn nhiều hạn chế trong kết luận đề tài.
Việc thực hiện chuyên đề “ Phép quy nạp và phương pháp quy nạp toán học ở trường phổ thông” đã thu được những kết quả khích lệ, cụ thể là:
1. Giáo viên và học sinh đã có những nhận thức đúng đắn về phép quy nạp, phân biệt được phép quy nạp hoàn toàn và chưa hoàn toàn. Từ đó có những cải tiến về phương pháp dạy và phương pháp học.
2. Đặc biệt, các em học sinh khá, giỏi đã hiểu rõ và vận dụng sáng tạo nguyên lý quy nạp toán học vào giải toán. Có thể nói các em đã được trang bị một phương pháp mới giải toán rất hữu hiệu đối với các bài toán toán học thuộc đủ các loại. Từ đó khơi dậy lòng ham mê, hứng thú tìm tòi, phát huy óc sáng tạo của các em, qua đó rèn luyện khả năng suy luận, phát triển tư duy lôgic. Các em đã trở thành cốt cán, phối hợp với giáo viên trong việc truyền tải và tiếp thu các bài học trên lớp giờ chính khoá, giúp cho giờ học sinh động hơn, hấp dẫn hơn và hiệu quả hơn, các em cũng phối hợp với giáo viên trong việc giúp đỡ các bạn học sinh yếu kém vươn lên.
2. Bài học sư phạm:
1) Muốn cải tiến, đổi mới phương pháp giảng dạy, người giáo viên cần phải luôn tự học, tự bồi dưỡng để nắm vững kiến thức cơ bản, có hệ thống. Đồng thời cần nắm vững chương trình – SGK vì đó là tài liệu vừa có tính pháp quy, vừa mang tính linh hoạt trong quá trình sử dụng tuỳ theo trình độ học sinh. Một trong những con đường là thực hiện các chuyên đề chuyên sâu, có tác dụng xuyên suốt chương trình – SGK, đồng thời có phần nâng cao cho đối tượng HS khá giỏi như chuyên đề mà chúng tôi thể hiện trên đây.
2) Đối với các em học sinh cần rèn cho các em kỹ năng, phương pháp tự học. Muốn vậy cần phải hướng dẫn các em thường xuyên, cụ thể, phải làm cho các em hiểu rõ SGK, phải giao việc cho các em tuỳ trình độ khả năng, từ thấp đến cao. Việc rèn cho học sinh khả năng tự học vừa phải là một mục đích vừa là phương tiện của việc đổi mới phương pháp dạy học.
3. Một số ý kiến đề xuất
1) Mỗi giáo viên cần nắm chắc, có hệ thống kiến thức cơ bản và chương trình – SGK hiện hành.
2) Việc rèn cho học sinh khả năng tự học là một quá trình khó khăn, đòi hỏi mỗi giáo viện phải kiên trì, bền bỉ thực hiện thường xuyên.
3) Đối với các cấp quản lý giáo dục cần đổi mới nội dung thực hiện các chuyên đề về cải tiến phương pháp giảng dạy.
Trên đây là những suy nghĩ, tìm tòi của tôi về một vấn đề liên quan đến việc cải tiến phương pháp giảng dạy nhằm phát huy tính tích vực của học sinh. Do thời gian có hạn và khả năng còn hạn chế bên không tránh khỏi thiếu sót, mong được sự góp ý, động viên khích lệ của các cấp quản lý và của đồng chí, đồng nghiệp để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
IV- TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa toán 6,7,8,9 (NXBGD)
2. Sách giáo viên toán 6,7,8,9 (NXBGD)
3. Sách bài tập toán 7 - tập 1 (NXBGD)
4. Nâng cao và phát triển toán 6,7,8,9 (NXBGD)
MỘT SỐ DẠNG BÀI KIỂM TRA
Bài số 1:
Phương án 1:
1) Chứng minh rằng với các số tự nhiên .
2) Chứng minh rằng: với .
Phương án 2:
1) Chứng minh rằng với các số dương a; b bất đẳng thức sau đúng với .
2) Chứng minh rằng: với .
Bài số 2:
Phương án 1.
1) Chứng minh rằng:
2) Chứng minh rằng:
Phương án 2 :
1) Chứng minh rằng:
2) Chứng minh rằng:
Bài số 3:
1) Chứng minh rằng : với
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, đồng nhất thức sau đúng:
3) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi .
với x > -1
Bài số 4.
1) Chứng minh với :
2) Chứng minh rằng:
3) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có:
Bài số 5.
1) Chứng minh rằng:
với .
2) Chứng minh với mọi số tự nhiên :
3) Tìm công thức tính tổng:
.
