A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lý do chọn đề tài.

1. Cơ sở lý luận:

-Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán.

-Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh.

-Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS.

-Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn.

2. Cơ sở thực tiễn:

-Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu.

-Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu.

-Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài liệu cụ thể, do đó làm mất nhiều thời gian.

- Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng chuyên đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn.

- Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành.

       Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng. Một trong những dạng toán đó là:Các dạng toán về bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8,9. Tuy  nhiên việc biên soạn các bài toán này trong các cuốn sách chưa hoàn chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải. Bài toán về bất đẳng thức có ý nghĩa quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Đề tài này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để giải các bài toán về bất đẳng thức .

Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “các dạng toán về bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8,9”.

II. Mục đích nghiên cứu:

Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán.

III . Đối tượng  nghiên cứu:

- Định nghĩa một số bất đẳng thức cơ bản….

-Hệ thống hóa kiến thức và phương pháp giải toán về bất đẳng thức cấp trung học cơ sở.

-Đưa ra được những kĩ năng cần thiết khi biến đổi bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN bằng bất đẳng thức luôn đúng.

-Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học toán

IV.Đối tượng khảo sát,thực nghiệm:

Đối tượng khảo sát : Học sinh khối lớp 8,9.

V.Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:

+Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8,9 từ năm 2011 đến nay.

+Tham khảo tài liệu, chuẩn  kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, các loại sách tham khảo.

+Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

CHƯƠNG I: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI.

I.Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu trong các tài liệu và từ thực tế.

a.Nghiên cứu tài liệu:

-Trong nhiều năm liền tôi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, tích góp những nội dung, những kinh nghiệm quan trọng về bất đẳng thức theo trình tự từ lớp 6à9 cho từng dạng bài toán riêng.

          b.Nghiên cứu từ thực tế:

b.1 Điều tra từ thực tế: Trước khi viết đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra 15 em học sinh Toán khối 8,9 của trường THCS.

 

b.2 Phân tích tổng hợp giữa lý luận và thực tiễn:

-Trên cơ sở những lý luận về đổi mới phương pháp dạy học và thực tế học sinh của trường tôi tiến hành nghiên cứu nội dung chứng minh bất đẳng thức và thiết kế hoạt động dạy học này theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và khi giảng dạy tôi kiểm tra, so sánh các yêu cầu sau:

+Tích cực suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng.

+Phát triển tư duy khái quát hóa, tổng hợp hóa.

+Sáng tạo trong cách giải bài tập, mạnh dạn trình bày và bảo vệ ý kiến, quan điểm cá nhân.

+Rèn luyện kĩ năng bộ môn Toán.

Cùng những kinh nghiệm của đồng nghiệp, từ thực tế lên lớp, qua những tiết bồi dưỡng học sinh giỏi. Bản thân luôn có sự thử nghiệm, so sánh và ghi chép những điều cần thiết cho tiết dạy sau tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước.

-Thực hiện chuyên đề về “các dạng toán về bất đẳng thức thường gặp ” trong tổ chuyên môn để tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp trong tổ.

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG – GIẢI PHÁP

I. Thực trạng vấn đề

- Học sinh thường gặp những bài toán về bất đẳng thức mà không biết phải sử dụng phương pháp nào để chứng minh  nên lúng túng trong biến đổi,tính toán

- Để có cơ sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức các em cần nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Nếu không dễ  bị  dẫn đến khó khăn ,bế tắc

II. Giải pháp: quá trình tiến hành để giải quyết vấn đề

1: CÁC KIẾN THỨC CẦN L­ƯU Ý

1.1 ĐINH NGHĨA

                                 

1.2 TÍNH CHẤT

    + A>B

    + A>B và B >C 

    + A>B A+C >B + C

    + A>B và  C > D  A+C > B + D

    + A>B và C > 0   A.C > B.C

    + A>B và C < 0   A.C < B.C

    + 0 < A < B và 0 < C <D    0 < A.C < B.D

    + A > B > 0      A >  B

    + A > B      A > B  với n lẻ

    +  >      A > B  với n chẵn

    + m > n > 0 và A > 1   A >A 

    + m > n > 0 và 0 <A < 1     A <   A 

    +A < B và A.B > 0       

 1.3 MỘT SỐ HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

+ A  0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+    Aⁿ  0  vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+  với     (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+  - < A =

+     ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+      ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

2. MỘT SỐ PH­ƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

2.1. PH­ƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA

 KIẾN THỨC :  Để chứng minh A > B

                               Ta chứng minh A –B > 0

                                L­ưu ý dùng hằng bất đẳng thức  M  0  với" M

 Ví dụ 1   " x, y, z chứng minh rằng :

               a) x + y + z   xy+ yz + zx

               b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz

                         _­c) x + y + z+3  2 (x + y + z)

   Giải:

 a) Ta xét hiệu

                                 x + y + z- xy – yz - zx

                           =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)

                           =đúng với mọi x;y;z

         Vì (x-y)² 0  với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

                (x-z)² 0  với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

             (y-z)² 0  với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

                      Vậy x + y + z   xy+ yz + zx

                            Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

                 b)Ta xét hiệu

                         x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )

                      = x + y + z-  2xy +2xz –2yz

                      =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z

                       Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz   đúng với mọi x;y;z

                              Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

                  c) Ta xét hiệu

                              x + y + z+3 – 2( x+ y +z )

                       = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1

                       = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0

                                Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a)   ;b)

c)  Hãy tổng quát bài toán

GIẢI

a)  Ta xét hiệu          

            =

            = 

            =

         Vậy 

Dấu bằng xảy ra khi  a=b

b)Ta xét hiệu

         

       =

     Vậy

Dấu bằng xảy ra khi  a = b =c

c)Tổng quát

                

Tóm lại các b­ước để chứng minh AB theo định nghĩa

     Bu­ớc 1: Ta xét hiệu  H = A - B

     Bu­ớc 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+...+(E+F)

     Bu­ớc 3:Kết luận A ³ B

2. 2. PHƯ­ƠNG PHÁP DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI T­ƯƠNG ĐƯ­ƠNG

LƯ­U Ý:

       Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t­ương đư­ơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đ­ược chứng minh là đúng.

    Chú ý các hằng đẳng thức sau:

                       

                                 

                      

   Ví dụ 1:

  Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

               a)

               b)

               c)

       Giải:

        a)

       

              (bất đẳng thức này luôn đúng)

        Vậy    (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)

       b)   

        

        

                 Bất đẳng thức cuối đúng.

           Vậy

                Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

        c)     

                                                                                   

           

           

             Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

VÍ DỤ 2:

           Chứng minh rằng:

                     Giải:

 

      

 a²b²(a²-b²)(a⁶-b⁶) 0     a²b²(a²-b²)²(a⁴+ a²b²+b⁴)   0

Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

VÍ DỤ 3:  cho x.y =1 và x.y   

Chứng minh 

Giải:

  vì :xy  nên  x- y  0   x²+y² ( x-y

     x²+y²-  x+y 0 x²+y²+2-  x+y -2 0

 x²+y²+()²-  x+y -2xy 0  vì x.y=1  nên 2.x.y=2

(x-y-)²    0   Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh

2. 3. PHƯ