Phương pháp giải một số dạng toán liên quan đến lũy thừa

05/11/2024

Chia sẻ

ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN MỸ ĐỨC

TRƯỜNG THCS THƯỢNG LÂM

----------------------------------------

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

LIÊN QUAN ĐẾN LŨY THỪA”

Lĩnh vực/môn : Toán 7

Cấp học : THCS

Tên tác giả: Dư Thị Bình

Đơn vị công tác: Trường THCS Thượng Lâm

Chức vụ: Giáo viên

Năm học: 2019 – 2020

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

TT	Chữ viết tắt	Nghĩa của chữ viết tắt
1	THCS	Trung học cơ sở
2	SGK	Sách giáo khoa
3	NXB	Nhà xuất bản
4	KSCL	Khảo sát chất lượng

MỤC LỤC

A. ĐẶT VẤN ĐỀ. 1

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

1. Cơ sở lí luận: 1

2. Cơ sở thực tiễn: 1

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.. 2

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.. 2

IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.. 2

V. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU.. 2

VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.. 2

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. 3

I) CƠ SỞ LÍ LUẬN.. 3

II. THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN.. 3

III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.. 4

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 4

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP 5

2.1. DẠNG 1:Tìm một thành phần chưa biết 5

2.2. DẠNG 2: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa hoặc tổng, hiệu các lũy thừa ……………………………………………………………..………………8

2.3.DẠNG 3:So sánh hai lũy thừa…….………..…….…………...……………10

2.4. DẠNG 4: Thực hiện các phép tính về lũy thừa 11

2.5. DẠNG 5: Bài toán chứng minh liên quan đến lũy thừa ………………..…12

IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN.. 12

C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 14

I) KẾT LUẬN.. 14

II) KHUYẾN NGHỊ 15

ĐẶT VẤN ĐỀ

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1. Cơ sở lí luận:

Phải nói rằng: Toán học là một môn khoa học tự nhiên lý thú. Nó cuốn hút con người ngay từ khi còn rất nhỏ. Chính vì vậy, mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi môn toán là nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Trong giảng dạy môn toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học lớp 6. Đó là tiền đề để các em học tốt môn ĐẠI SỐ sau này.

2. Cơ sở thực tiễn:

Trong toán học 7 “Toán luỹ thừa’’ là một mảng kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về luỹ thừa

không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh lớp7 các em mới được làm quen với môn đại số và mới được tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính toán... Để học tốt bộ môn toán nói chung và ‘’Toán luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng là luôn biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải từng bài tâp... qua sự suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đứng trước một bài toán khó, chưa tìm ra cách giải, học sinh thực sự lúng túng, hoang mang và rất có thể sẽ bỏ qua bài toán đó, nhưng nếu có được sự giúp đỡ, gợi mở thì các em sẽ không sợ mà còn thích thú khi làm những bài toán như vậy.

Kết quả kiểm tra trước khi thực hiện đề tài như sau:

Lớp	Số HS	Giỏi		Khá		TB		Yếu
Lớp	Số HS	SL	%	SL	%	SL	%	SL	%
7A	38	14	37%	17	43%	6	17%	1	3%

Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh lớp 7, bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, tôi muốn trình bày một số ý kiến về đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán liên quan đến lũy thừa’’ nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu nhằm đề ra các biện pháp sư phạm giúp cho học sinh có Phương pháp giải một số dạng Toán liên quan đến lũy thừa trong chương trình số học 6, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán 6 nói riêng và Toán THCS nói chung.

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 7 và qua giảng dạy ở một số lớp và thực tiễn tìm hiểu, tham khảo ý kiến và cách làm bài của học sinh ở trường.

IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đề tài áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh lớp 7.

Đề Toán liên quan đến lũy thừa tài có thể dạy trong các tiết dạy chính khóa, chyên đề, ôn tập và bổ sung các kiến thức năng cao.

V. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Đề tài này được tôi nghiên cứu, tiến hành thực nghiệm và hoàn thành từ tháng 9/2019 đến tháng 1/ 2020.

VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có nội dung liên quan đến bồi dưỡng năng lực giải Toán.

Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích các số liệu từ tài liệu để sử dụng trong đề tài. Sau đó tổng hợp các số liệu.

Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng về năng lực giải Toán của học sinh lớp 7.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I) CƠ SỞ LÍ LUẬN

Giải bài tập toán là một quá trình suy luận ,nhằm khám phá ra các quá trình logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận). Nhưng các quy tắc suy luận cũng như các chứng minh chưa được tường minh. Do đó, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy: học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm và từ đó có thể tìm ra được quy luật cho bài toán, còn học sinh trung bình, yếu, kém gặp nhiều lúng túng. Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình rèn luyện. Tuy rằng, không phải cứ giải nhiều bài tập là học sinh nào cũng có thể tìm ra được quy luật của bài toán .

Tôi chọn đề tài này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 7 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập.

II. THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN

* Đối với giáo viên:

Đa số giáo viên luôn quan tâm,nghiên cứu,tìm tòi để có phương pháp hay truyền đạt kiến thức đến các em một cách dễ hiểu nhất. Bên cạnh đó vẫn còn giáo viên chưa đi sâu tìm hiểu đối tượng học sinh, chưa tìm tòi nghiên cứu để tìm ra phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh lớp dạy, còn có cách nghĩ chủ quan, áp đặt đối với học sinh dẫn đến nội dung dạy chỉ bám sát vào sách giáo khoa và chuẩn kiến thức mà chưa nâng cao mở rộng, hoăc có đưa ra dạng toán nâng cao mở rộng thì chưa phong phú dạng bài hoặc chỉ đưa ra để giới thiệu chứ chưa đi sâu,chưa hướng dẫn các em cách khai thác dạng toán có phương pháp giải tương tự, chưa chỉ ra cho các em phương pháp khai thác,tìm đặc điểm của bài toán,vận dụng,tìm mối liên hệ giữa các bài toán, dạng toán tương tự.

*Đối với học sinh:

Thực tế là đa số học sinh khi giải bài tập toán chỉ đơn thuần là tìm ra đáp số hay giải đúng là được, kể cả học sinh khá giỏi hay trung bình yếu. Các em chưa có thói quen quan sát đặc điểm bài toán rồi mới đưa ra phương pháp giải, chứ chưa nói đến việc mà các em biết tìm mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác, để từ đó có phương pháp giải hợp lý nhất hay vận dụng phương pháp từ bài toán này sang bài toán khác có dạng tương tự, khai thác từ bài toán này sang bài toán khác,vận dụng kết quả từ bài toán này sang bài toán khác ,….Vì vậy,qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy tôi thấy để học sinh đạt được kết quả học tập tốt thì các em phải có phương pháp giải toán tốt. Đó là biêt quan sát, biết sử dụng, biêt khai thác bài toán có dạng tương tự, từ đó tìm ra quy luật chung.

Tôi chọn đề tài này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp7 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập.

III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên

aⁿ = (n Î N^*)

n thừa số

b. Một số tính chất :

Với a, b, m, n Î N

a^m. aⁿ = a^m+n, a^m. aⁿ . a^p = a^m+n+p (p Î N)

a^m: aⁿ = a^m-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)^m = a^m. b^m (m ≠ 0)

(a^m)ⁿ = a^m.n (m,n ≠ 0)

Quy ước:

a¹ = a a⁰ = 1 (a ≠ 0)

* Với : x, y Î Q; m, n Î N; a, b Î Z

xⁿ = (x Î N^*) (b ≠ 0, n ≠ 0)

n thừa số

x^o = 1 x^m . xⁿ = x^m+n

(x ≠ 0) x^-n = (x ≠ 0)

(x^m)ⁿ = x^m.n (x.y)^m = x^m. y^m

(y ≠ 0)

c. Kiến thức bổ sung

* Với mọi x, y, z Î Q:

x < y <=> x + z < y + z

Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z

z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z

* Với x Î Q, n Î N:

(-x)²ⁿ = x²ⁿ (-x)²ⁿ⁺¹ = - x²ⁿ⁺¹

* Với a, b Î Q;

a > b > 0 => aⁿ > bⁿ ; a > b <=> a^{2n +1} > b^{2n + 1}

a > 1 , m > n > 0 => a^m > aⁿ; 0 < a < 1 , m > n > 0 => a^m > aⁿ

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. Dạng 1: Tìm một thành phần chưa biết

2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa

*Phương pháp chung:

+) PP1: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ

+) PP 2: Biến đổi thành tích

+) PP 3 : So sánh các lũy thừa với cùng một số

Ví dụ 1: Tìm x biết rằng:

a, x³ = -27 b, (2x – 1)³ = 8

c, (x – 2)² = 16 d, (2x – 3)² = 9

Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.

a, x³ = -27 b, (2x – 1)³ = 8

x³ = (-3)³ (2x – 1)³ = (-2)³

= x = -3 => 2x – 1 = - 2

Vậy x = - 3 2x = -2 + 1

2x = - 1 => x =

Vậy x =

c, (2x – 3)² = 9 => (2x – 3)² = (-3)² = 3²

=> 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3

2x = 6 2x = 0

x = 3 x = 0

Vậy x = 3 hoặc x = 0 .

d , (x - 2)² = 16

=> (x - 2)² = (-4)² = 4²

=> x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4

x = -2 x = 6

Vậy x = -2 hoặc x = 6

Ví dụ 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x² = x⁵

Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết, số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ ‘’ tìm mò được x = o hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ?

Giáo viên có thể gợi ý :

x² = x⁵ => x⁵ – x² = 0 => x².(x³ - 1) = 0 => => =>

Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau :

Bài tập luyện tập:

1 . Tìm x biết :

a, (2x – 1)⁴ = 81 b, (x -2)² = 1

c, (x - 1)⁵ = - 32 d, (4x - 3)³ = -125

2 . Tìm y biết :

a, y²⁰⁰ = y b, y²⁰⁰⁸ = y²⁰¹⁰

2.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.

Phương pháp chung:

PP1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số

PP 2: Biến đổi thành tích

Ví dụ 1 : Tìm n N biết :

a, 2008ⁿ = 1 c, 32^-n. 16ⁿ = 1024

b, 5ⁿ + 5ⁿ⁺² = 650 d, 3^-1.3ⁿ + 5.3^n-1 = 162

Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a,

a, 2008ⁿ = 1 => 2008ⁿ = 2008⁰ => n = 0

Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên :

b, 5ⁿ + 5ⁿ⁺² = 650 => 5ⁿ + 5ⁿ.5² = 650 => 5ⁿ.(1 + 25) = 650

=> 5ⁿ = 650 : 26

=> 5ⁿ = 25 = 5 => n = 2

Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d,

c, n = -10 d, n = 4

Ví dụ 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :

2^m + 2ⁿ = 2^m+n

Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n . Giáo viên gợi ý :

2^m + 2ⁿ = 2^m+n => 2^m+n – 2^m – 2ⁿ = 0 => 2^m.2ⁿ -2^m -2ⁿ + 1 = 1

=> 2^m(2ⁿ - 1) – (2ⁿ - 1) = 1

=> (2^m - 1)( 2ⁿ - 1) = 1 (*)

Vì 2^m 1 , 2ⁿ 1 m,n N