- ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lí luận:
Phải nói rằng: Toán học là một môn khoa học tự nhiên lý thú. Nó cuốn hút con người ngay từ khi còn rất nhỏ. Chính vì vậy, mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi môn toán là nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Trong giảng dạy môn toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học lớp 6. Đó là tiền đề để các em học tốt môn ĐẠI SỐ sau này.
2. Cơ sở thực tiễn:
Trong toán học 7 “Toán luỹ thừa’’ là một mảng kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về luỹ thừa
không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh lớp7 các em mới được làm quen với môn đại số và mới được tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính toán... Để học tốt bộ môn toán nói chung và ‘’Toán luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng là luôn biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải từng bài tâp... qua sự suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đứng trước một bài toán khó, chưa tìm ra cách giải, học sinh thực sự lúng túng, hoang mang và rất có thể sẽ bỏ qua bài toán đó, nhưng nếu có được sự giúp đỡ, gợi mở thì các em sẽ không sợ mà còn thích thú khi làm những bài toán như vậy.
Kết quả kiểm tra trước khi thực hiện đề tài như sau:
|
Lớp
|
Số HS
|
Giỏi
|
Khá
|
TB
|
Yếu
|
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
|
7A
|
38
|
14
|
37%
|
17
|
43%
|
6
|
17%
|
1
|
3%
|
Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh lớp 7, bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, tôi muốn trình bày một số ý kiến về đề tài “Phương pháp giải một số dạng toán liên quan đến lũy thừa’’ nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu nhằm đề ra các biện pháp sư phạm giúp cho học sinh có Phương pháp giải một số dạng Toán liên quan đến lũy thừa trong chương trình số học 6, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán 6 nói riêng và Toán THCS nói chung.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Học sinh lớp 7 và qua giảng dạy ở một số lớp và thực tiễn tìm hiểu, tham khảo ý kiến và cách làm bài của học sinh ở trường.
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đề tài áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh lớp 7.
Đề Toán liên quan đến lũy thừa tài có thể dạy trong các tiết dạy chính khóa, chyên đề, ôn tập và bổ sung các kiến thức năng cao.
V. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Đề tài này được tôi nghiên cứu, tiến hành thực nghiệm và hoàn thành từ tháng 9/2019 đến tháng 1/ 2020.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có nội dung liên quan đến bồi dưỡng năng lực giải Toán.
Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích các số liệu từ tài liệu để sử dụng trong đề tài. Sau đó tổng hợp các số liệu.
Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng về năng lực giải Toán của học sinh lớp 7.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) CƠ SỞ LÍ LUẬN
Giải bài tập toán là một quá trình suy luận ,nhằm khám phá ra các quá trình logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận). Nhưng các quy tắc suy luận cũng như các chứng minh chưa được tường minh. Do đó, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy: học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm và từ đó có thể tìm ra được quy luật cho bài toán, còn học sinh trung bình, yếu, kém gặp nhiều lúng túng. Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình rèn luyện. Tuy rằng, không phải cứ giải nhiều bài tập là học sinh nào cũng có thể tìm ra được quy luật của bài toán .
Tôi chọn đề tài này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 7 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập.
II. THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN
* Đối với giáo viên:
Đa số giáo viên luôn quan tâm,nghiên cứu,tìm tòi để có phương pháp hay truyền đạt kiến thức đến các em một cách dễ hiểu nhất. Bên cạnh đó vẫn còn giáo viên chưa đi sâu tìm hiểu đối tượng học sinh, chưa tìm tòi nghiên cứu để tìm ra phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh lớp dạy, còn có cách nghĩ chủ quan, áp đặt đối với học sinh dẫn đến nội dung dạy chỉ bám sát vào sách giáo khoa và chuẩn kiến thức mà chưa nâng cao mở rộng, hoăc có đưa ra dạng toán nâng cao mở rộng thì chưa phong phú dạng bài hoặc chỉ đưa ra để giới thiệu chứ chưa đi sâu,chưa hướng dẫn các em cách khai thác dạng toán có phương pháp giải tương tự, chưa chỉ ra cho các em phương pháp khai thác,tìm đặc điểm của bài toán,vận dụng,tìm mối liên hệ giữa các bài toán, dạng toán tương tự.
*Đối với học sinh:
Thực tế là đa số học sinh khi giải bài tập toán chỉ đơn thuần là tìm ra đáp số hay giải đúng là được, kể cả học sinh khá giỏi hay trung bình yếu. Các em chưa có thói quen quan sát đặc điểm bài toán rồi mới đưa ra phương pháp giải, chứ chưa nói đến việc mà các em biết tìm mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác, để từ đó có phương pháp giải hợp lý nhất hay vận dụng phương pháp từ bài toán này sang bài toán khác có dạng tương tự, khai thác từ bài toán này sang bài toán khác,vận dụng kết quả từ bài toán này sang bài toán khác ,….Vì vậy,qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy tôi thấy để học sinh đạt được kết quả học tập tốt thì các em phải có phương pháp giải toán tốt. Đó là biêt quan sát, biết sử dụng, biêt khai thác bài toán có dạng tương tự, từ đó tìm ra quy luật chung.
Tôi chọn đề tài này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp7 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập.
III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
an = 
(n Î N*)
n thừa số
b. Một số tính chất :
Với a, b, m, n Î N
am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p Î N)
am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am. bm (m ≠ 0)
(am)n = am.n (m,n ≠ 0)
Quy ước:
a1 = a a0 = 1 (a ≠ 0)
* Với : x, y Î Q; m, n Î N; a, b Î Z
xn = 
(x Î N*) 
(b ≠ 0, n ≠ 0)
n thừa số
xo = 1 xm . xn = xm+n
(x ≠ 0) x-n = 
(x ≠ 0)
(xm)n = xm.n (x.y)m = xm. ym
(y ≠ 0)
c. Kiến thức bổ sung
* Với mọi x, y, z Î Q:
x < y <=> x + z < y + z
Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z
z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z
* Với x Î Q, n Î N:
(-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1
* Với a, b Î Q;
a > b > 0 => an > bn ; a > b <=> a2n +1 > b2n + 1
a > 1 , m > n > 0 => am > an; 0 < a < 1 , m > n > 0 => am > an
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Tìm một thành phần chưa biết
2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phương pháp chung:
+) PP1: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ
+) PP 2: Biến đổi thành tích
+) PP 3 : So sánh các lũy thừa với cùng một số
Ví dụ 1: Tìm x biết rằng:
a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8
c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = 9
Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.
a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8
x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3
= x = -3 => 2x – 1 = - 2
Vậy x = - 3 2x = -2 + 1
2x = - 1 => x = 
Vậy x =
|
c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
=> 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3
2x = 6 2x = 0
x = 3 x = 0
Vậy x = 3 hoặc x = 0 .
|
d , (x - 2)2 = 16
=> (x - 2)2 = (-4)2 = 42
=> x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4
x = -2 x = 6
Vậy x = -2 hoặc x = 6
|
Ví dụ 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5
Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết, số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ ‘’ tìm mò được x = o hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ?
Giáo viên có thể gợi ý :
x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 => 
=>
=> 
Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau :
Bài tập luyện tập:
1 . Tìm x biết :
a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1
c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125
2 . Tìm y biết :
a, y200 = y b, y2008 = y2010
2.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Phương pháp chung:
PP1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số
PP 2: Biến đổi thành tích
Ví dụ 1 : Tìm n 
N biết :
a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024
b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a,
a, 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0
Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên :
b, 5n + 5n+2 = 650 => 5n + 5n.52 = 650 => 5n.(1 + 25) = 650
=> 5n = 650 : 26
=> 5n = 25 = 5 => n = 2
Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d,
c, n = -10 d, n = 4
Ví dụ 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
2m + 2n = 2m+n
Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n . Giáo viên gợi ý :
2m + 2n = 2m+n => 2m+n – 2m – 2n = 0 => 2m.2n -2m -2n + 1 = 1
=> 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1
=> (2m - 1)( 2n - 1) = 1 (*)
Vì 2m 
1 , 2n 1 
m,n N
Nên từ (*) =>
=> 
=> 
Vậy : m = n = 1
Ví dụ 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a, 3 < 3n 
234
b, 8.16 2n 4
Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số .
Bài tập luyện tập:
1. Tìm các số nguyên n sao cho
a. 9 . 27n = 35 b. (23 : 4) . 2n = 4
c. 3-2. 34. 3n = 37 d. 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho :
a. 125.5 5n 5.25 b. (n54)2 = n
c. 243 3n 9.27 d. 2n+3 2n =144
2.1.3. Một số trường hợp khác
Ví dụ 1: Tìm x biết:
(x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1)
Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải . Nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen
thuộc bằng một phép biến đổi sau :
Đặt x-1 = y ta có: x + 2 = y + 3
x + 4 = y + 5
Khi đó (1) trở thành : yy+3 = yy+5
=> yy+5 - yy+3 = 0 => yy+3(y2 – 1) = 0
=> yy+3 = 0 hoặc y2 – 1 = 0.
* Nếu: yy+3 = 0 => y = 0 Khi đó : x – 1 = 0 hay x = 1.
* Nếu : y2 – 1 = 0 => y2 = (±1)2 => y = 1 hoặc y = -1
Với y = 1 ta có : x – 1 = 1 hay x = 2
Với y = -1 ta có : x – 1 = -1 hay x = 0
Vậy : x 
Ví dụ 2 : Tìm x biết :
x(6-x)2003 = (6-x)2003
Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn.
x. (6-x)2003 = (6-x)2003
x. (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0
(6-x)2003 (x-1) = 0
=> (6-x)2003 = 0 hoặc (x-1) = 0
* Nếu (6-x)2003 = 0 => (6-x) = 0 => x = 6
* Nếu (x-1) = 0 => x = 1
Vậy : x 
Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau :
Tìm các số tự nhiên a , b để :
a. 3a + 9b = 183
b. 5a + 323 = b2
2.2. Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa hoặc tổng, hiệu các lũy thừa
2.2.1 Tìm một chữ số tận cùng
* Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau :
+) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó .
+) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó .
+) Các số tự nhiên tận cùng là bằng những số 3, 7, 9 nâng lên lũy thừa 4n (n khác 0) đều có tận cùng là 1.
...34n = ...1 ; ...74n = ...1 ; ...94n = ...1
+) Các số tự nhiên tận cùng bằng 2, 4, 8 nâng lên lũy thừa 4n (n khác 0) đều có tận cùng là 6.
...24n = ...6 ; ...44n = ...1 ; ...84n = ...1
*) Lưu ý : - Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4 .
- Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9
+) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096
Ví dụ 1 Tìm chữ số tận cùng của các số sau:20072008 , 1357 2008 , 23456 , 5235
Hướng dẫn : Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 .
+) 20072008 = (20074)502 = (
)502 = nên 20072008 chữ số tận cùng là 1 .
+) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = . 1357 = 
=>13 5725 có chữ số tận cùng là 7 .
+) 23456 = (24)864 = 16864 = 
=> 23456 có chữ số tận cùng là 6 .
+) 5235 = 5232. 523 = (524)8. 
= ()8 . = . =
=> 5235 có chữ số tận cùng là 8 .
Ví dụ 2: Cho M = 1725 + 244 – 1321 . Chứng tỏ rằng : M 
10
Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0 .
Giải : 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ()6.17 = .17 =
244 =(242)2 = 5762 =
1321 = (134)5.13 = ()5.13 = . 13 = 
Vậy M = + - = 
=> M 10
Đến đây, sau khi làm bài 2 , bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau :
Bài tập luyện tập :
1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003; 20082004; 20052005; 20062006 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005
2, Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n :
a, 34n + 1 + 2 chia hết cho 5
b, 24n + 1 + 3 chia hết cho 5
2.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa .
* Phương pháp : Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa , ta cần chú ý những số đặc biệt sau :
+) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó .
+) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 .
+) các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76 .
+) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01 .
+) Số 26n (n 
N, n >1)
Ví dụ 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100
Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này :
2100 = (220)5 = (
)5 =
3100 = (320)5= (
)5 =
Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 5151 b, 9999
Hướng dẫn :Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 .
a, 5151 = (512)25. 51 = ()25. 51 = . 51 = 
=> 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51
Tương tự :
b, 9999 =(992)49.99 = ()49 . 99= . 99 = 
Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát:
Bài tập luyện tập:
1. Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 72003 b, 
c, 742003
d, 182004 e, 682005 f, 742004
2. Chứng tỏ rằng :
a, A = 262n - 26 5 và 10 ( n N, n > 1)
b, B = 242n+1 + 76 100 (Với n N)
2.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên.
*Phương pháp : Chú ý một số điểm sau.
+) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó.
+) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625.
Ví dụ 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000.
Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước.
52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625.
có bốn chữ số tận cùng là 0625.
Ví dụ 2 : Chứng tỏ rằng:
a. 
+ 375 1000 ( n N, n ≥ 1)
b. 
- 25 100 ( n N, n ≥ 2)
Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi.
a. Ta có: = 
= 
tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1)
=> + 375 có tận cùng 000.
Vậy: + 375 1000
b. Ta có = 
= 
= 
( n N, n ≥ 2)
Vậy - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00.
Do đó : - 25 100
2.3 Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa
* Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
+) Lưu ý một số tính chất sau :
Với a , b , m , n N , ta có : a > b ó an > bn n N*
m > n ó am > an (a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n 
0)
Với A , B là các biểu thức ta có :
An > Bn ó A > B > 0
Am > An => m > n và A > 1
m < n và 0 < A < 1
Ví dụ 1 : So sánh :
a, 33317 và 33323
b, 200710 và 200810
Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ .
a, Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
b, Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
Ví dụ 2 : So sánh
a, 2300 và 3200 b, 3500 và 7300
Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ .
Hướng dẫn :
a, Ta có : 2300 = 23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100 => 2300 < 3200
b, Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
2.4. Dạng 4: Thực hiện phép tính về lũy thừa.
*Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
A = 
Hướng dẫn :
Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đấp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ.
a, A = = 
= 23 = 8
Ví dụ 2: a, Tính tổng : Sn = 1 + a + a2 + .. + an
b, áp dụng tính các tổng sau:
A = 1 + 3 + 32+ … + 32008
a, Đây là một bài toán tổng quát , giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm
Để thu gọn các tổng lũy thừa này , ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa.
* Xét a = 1 ta có: Sn = 1 + 1 + 12 +...+ 1n =( n +1).1 = n +1
* Xét a ≠ 1 ta có : Sn = 1 + a + a2 + .. + an
a. Sn = a + a2 + .. + an+1
a. Sn - Sn = an+1 – 1
=> Sn = 
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau :
1. Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính
phương :
M = 13+23 P = 13+23+33+43+53
N = 13+23+33 Q = 13+23+33+43+53+63
2. Tính A và B bằng hai cách trở lên:
A = 1+2+22+23+24+…….+2n (n N*)
B = 70+71+72+73+74+……+7n+1 (n N)
2.5. Dạng 5: Bài toán chứng minh liên quan đến lũy thừa
Ví dụ : Chứng tỏ rằng:
a, A = 102008 + 125 45
b, B = 52008 + 52007 + 52006 31
Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a m, a n, (m;n) = 1 thì a m.n (a, m, n N*)
a, A = 102008 + 125 45
Ta có: 102008 + 125 = 
+ 125 = 
2008 số 0 2005 số 0
A có tận cùng là 5 => A 5
Tổng các chữ số của A là : 1+1+2+5 = 9 => A 9.
Mà (5;9) = 1 => A 5.9 hay A 45
b, B = 52008 + 52007 + 52006 31
Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.
B = 52008 + 52007 + 52006
B = 52006 .( 52 + 51 + 1)
IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Trong năm học vừa qua , kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh khá giỏi,
tôi đã hướng dẫn các em học sinh khối 7 học chuyên đề này , Kết quả cho thấy các em không những đã giải tốt các bài toán về lũy thừa mà còn rất hào hứng với chuyên đề này, giúp các em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung và phần toán lũy thừa nói riêng.
Tôi đã cho học sinh khá , giỏi khối lớp 7 làm bài kiểm tra khảo sát sau khi thực hiện chuyên đề này, kết quả cho thấy :
|
Lớp
|
Số HS
|
Giỏi
|
Khá
|
TB
|
Yếu
|
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
|
7A
|
38
|
23
|
61
|
13
|
34
|
2
|
5
|
0
|
0
|
Các em học sinh sau khi được học chuyên đề đã nắm vững được các dạng bài tập về lũy thừa để tìm ra phương pháp giải hợp lý nhất cho các bài tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi . Đặc biệt một số em trong đội tuyển học sinh giỏi các em đã giải và vận dụng rất linh hoạt , nhanh và chọn được phương pháp tối ưu khi giải toán .
C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1) KẾT LUẬN
Sau khi áp dụng phương pháp này tôi rút ra được một số kinh nghiệm sau:
|
Bài KTKS
|
Lớp
|
Số HS
|
Giỏi
|
Khá
|
TB
|
Yếu
|
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
SL
|
%
|
|
Lần 1
|
7A
|
38
|
14
|
37
|
17
|
43
|
6
|
17
|
1
|
3
|
|
Lần 2
|
7A
|
38
|
23
|
61
|
13
|
34
|
2
|
5
|
0
|
0
|
- Phải luôn tìm hiểu kĩ các em học sinh khi giải “dạng toán liên quan đến lũy thừa” thật sự đa số các em gặp khó khăn chỗ nào. Từ đó, giúp các em từng bước giải quyết khó khăn để cuối cùng giải được bài toán “liên quan đến lũy thừa”
- Đối với học sinh lớp 6,7 các em mới bước ra từ bậc tiểu học còn nhiều thói quen của học sinh tiểu học như: viết chậm, trình bày bài chưa hay, thích chấm điểm trong vở bài tập, thích học môn của cô chủ nhiệm, quen học theo kiểu đọc chép..
- Đối vơi bài toán “liên quan đến lũy thừa” ngay từ bài đầu tiên tôi phải gây sự chú ý cho học sinh bằng những bài toán trắc nghiệm lí thú, những ví dụ dễ làm cho học sinh trung bình yếu và những ví dụ tạo tình huống có vấn đề cho học sinh khá giỏi,…
2) KHUYẾN NGHỊ
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể và chi tiết, Đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp thiết kế đồ dùng dạy học và thiết bị dạy học sao cho sinh động và thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 6,7 chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
Tác giả đề tài
Dư Thị Bình
A. 330 B.611 C.311 D.911
A. 24 B.212 C.232 D.12
A. (0,3)7 B. (0,3)12 C. (0,3)1 D. ( 3)12
A. 330 B.612 C.312 D.2712
A. 220 B.224 C.232 D.27
A. 
B. - C. 
D. 
c.
.
d) ( - 13)12 : ( - 13)10
a. x : 
= -
b.16.x = 44