A. ĐẶT VẤN ĐỀ

I. CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI

1. Cơ sở lí luận

          Trong nhà trường phổ thông môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng góp phần phát triển nhân cách, năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…Rèn luyện những đức tính của người lao động trong thời kỳ mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ. Bên cạnh đó những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế vì vậy toán học là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông.

   2. Cơ sở thực tiễn  

     Giải phương trình vô tỉ là một dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình toán phổ thông, rất thường gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào các trường chuyên, lớp chọn. Để giải được loại toán này đòi hỏi học sinh phải biết cách vận dụng thành thạo nội dung kiến thức đã được học bên cạnh đó còn phải biết phân tích bài toán một cách hợp lý mới có thể tìm được lời giải cho bài toán.

   Các bài toán giải phương trình vô tỉ đa dạng và phong phú. Xét về cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh. Trong khi đó kiến thức và thời lượng mà các em được truyền thụ trong  nhà trường ở cấp THCS lại quá sơ sài vì vậy phần lớn học sinh rất ngại chạm trán với loại toán này. Xét về phương pháp giải loại toán trên có nhiều cách như: Phương pháp nâng lên luỹ thừa, phương pháp đối nghịch, sử dụng bất đẳng thức, phương pháp xét khoảng.....

Qua thực tiễn giảng dạy học sinh ở nhà trường và đội tuyển học sinh giỏi của trường, tôi nhận thấy “ Phương pháp giải phương trình vô tỉ ”  có vị trí hết sức quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp suy luận trong học toán và cũng là nội dung quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh tham gia dự thi tuyển sinh vào các trường chuyên, trường năng khiếu. Đó là lý do tôi chọn đề tài này.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

     Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ và giúp học sinh tránh được những sai lầm thường gặp khi giải loại toán này. Việc rèn luyện kỹ năng giải loại toán này có ý nghĩa hết sức quan trọng đối với học sinh: Giúp các em củng cố và hệ thống hoá được nhiều kiến thức , vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức của bậc học THCS để có cách giải thông minh và phù hợp. Bên cạnh đó nó giúp cho các em luôn luôn có những suy nghĩ khoa học, giúp các em đạt được hiệu quả cao nhất trong công việc và cuộc sống đời thường.

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU        

      Nghiên cứu các phương pháp « Giải phương trình vô tỉ »  là một phần quan trọng trong  chương trình Toán THCS.

IV. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN

        Chuyên đề được sử dụng nhằm bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp 9 cấp THCS và học sinh dự thi vào các trường THPT chuyên.        

Nghiên cứu về phương pháp giải toán về phương trình vô tỉ để giúp học sinh có thể học tốt  hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo trong việc học toán cũng như trong cuộc sống.

     Thời gian thực hiện:

- Năm học : 2017 – 2018 thảo luận, nghiên cứu lý thuyết ,khảo sát  hoàn thành các biểu mẫu điều tra ,xây dựng đề cương sáng kiến kinh nghiệm.

- Năm học : 2018- 2019  tiến hành điều tra ,sử lý số liệu và áp dụng vào thực tế

- Năm học : 2019 – 2020 điều chỉnh lại và hoàn thành  tháng 4/2019.

V. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU :

    Do thời lượng dành cho nội dung về phương trình vô tỉ không nhiều, lại nằm rải rác trong chương trình THCS nên trong những năm vừa qua chuyên đề phương trình vô tỉ chưa được quan tâm nhiều vì vậy đa số học sinh gặp khó khăn khi gặp các bài toán loại này. Tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát trước khi thực hiện đề tài này, kết quả cho thấy :

 

Lớp	Tổng số	Giỏi		Khá		TB		Yếu
		SL	%	SL	%	SL	%	SL	%
9C	39	5	12.82	7	17.95	8	20.51	19	48.72

     Qua khảo sát cho thấy phần lớn học sinh còn lúng túng khi đứng trước bài toán về phương trình vô tỉ, các em chưa biết cách phân tích bài toán để áp dụng phương pháp một cách hợp lý. Một số em khá, giỏi cũng chỉ dừng lại ở mức giải quyết được những bài tập đơn giản mà đường lối giải đã có sẵn.

     Đối với đội tuyển học sinh giỏi của trường các em cũng chưa có kỹ năng phân tích tìm tòi lời giải bài toán một cách khoa học mà chỉ giải được các bài tập đơn giản đặc biệt các em gặp nhiều khó khăn đối với các bài toán dạng này trong các kỳ thi vào 10

      Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, học còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách nâng cao, sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô.

     Đứng trước thực trạng trên tôi thấy cần phải làm thế nào để khắc phục tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thích học toán hơn. Vậy tôi thiết nghĩ đề tài của tôi nghiên cứu về vấn đề này là bước đi đúng đắn với tình trạng và sức học của học sinh hiện nay.

 

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN

      Xu thế đổi mới mạnh mẽ của nền Giáo dục nói chung và Giáo dục THCS nói riêng là lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên là người hướng dẫn, tổ chức các hoạt động nhằm phát huy những năng lực chung cho học sinh, đáp ứng với việc bước đầu hình thành những con người mới cho xã hội hiện đại và không ngừng phát triển.

     Học toán và giải toán có vị trí rất quan trọng trong chương trình cấp  THCS, do đó học sinh cần phải học và có được phương pháp học tập, phương pháp giải toán độc đáo. Muốn vậy học sinh cần phải được phát triển kỹ năng vận dụng phương pháp giải toán một cách tốt nhất, nhanh nhất, hay nhất tạo thói quen thành thạo và phát triển khả năng tư duy, trí thông minh cho học sinh. Chính vì vậy, ở cấp THCS, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn Toán là hết sức cần thiết.

    Giải phương trình vô tỉ là một trong những chuyên đề hay và khó có tác dụng rất tốt trong việc rèn luyện khả năng tư duy và phát triển trí thông minh cho học sinh. Do đó trong năm học này tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ” để thực hiện trong chương trình toán lớp 9.

 II. CÁC GIẢI PHÁP

        Để đạt được hiệu quả khi giải các bài toán nói chung và giải các bài toán về phương trình vô tỉ, tôi đã rèn cho học sinh ghi nhớ khái niệm, công thức, định nghĩa, quy tắc để áp dụng giải một số bài toán dạng này.

BIỆN PHÁP 1: Giúp các em hiểu được thế  nào là phương trình vô tỉ. Phương trình vô tỉ là phương trình có có chứa ẩn trong dấu căn.

Ví dụ:          x +  = 13

 -  =

BIỆN PHÁP 2: Chỉ cho học sinh thấy một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ.

1. Sai lầm do không chú ý điều kiện có nghĩa của căn thức.

Ví dụ1: Giải phương trình:              (1)

Lời giải sai (1)

Vậy phương trình có nghiệm x = -2

Phân tích sai lầm: Giá trị x = -2 không là nghiệm của phương trình (1) vì x = -2 thì  không có nghĩa.

Để khắc phục sai lầm này ta có 2 cách:

Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức

Cách 2: Thử lại giá trị tìm được vào phương trình ban đầu

Lời giải đúng như sau:

Điều kiện có nghĩa của căn thức:

Khi đó (1)   

                  

                     (không thoả mãn điều kiện)

Nên phương trình (1) vô nghiệm

2. Sai lầm do không đặt điều kiện của ẩn để biến đổi tương đương.

Ví dụ 2: Giải phương trình x +    (2)

Lời giải sai (2)      

                              x - 1 = 9 - 6x + x²

                             x² - 7 x + 10 = 0

                              x₁ = 2 ; x₂ = 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm x₁ = 2 ; x₂ = 5.

Nhưng giá trị x₂ = 5 không phải là nghiệm của phương trình (2)

Vì khi đó  = 2 còn 3 - x = 3 - 5 = - 2

Để khắc phục sai lầm này ta phải đặt điều kiện cho vế phải là một số không âm, vì khi đó vế trái là một số không âm.

Lời giải đúng : đk : x - 1> 0  x > 1

(2)    

ĐK: 3- x > 0  x < 3

                              x - 1 = 9 - 6x + x²

                             x² - 7 x + 10 = 0

                              x₁ = 2 ; x₂ = 5 loại vì không thoả mãn điều kiện x < 3

Chỉ có 2 thoả mãn điều kiện  1 < x < 3. Vậy phương trình có nghiệm x = 2

3. Có những bài toán học sinh mắc cả 2 sai lầm trên

Ví dụ 3: Giải phương trình    (3)

Lời giải sai:

(3)      

           x - 1 = 5x -1 + 3x - 2 + 2      

           2 - 7x = 2                               (3’)

           4 - 28 x + 49 x² = 60 x² - 52 x + 8                    (3’’)

           11x² - 24 x + 4 = 0

           (11x - 2) (x - 2) = 0

           x₁ =  ; x₂ = 2

Vậy PT (3)  có 2 nghiệm là x₁ =  ; x₂ = 2.

Phân tích sai lầm:

* Các em không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức:

Thật vậy:  ĐK :    

Do đó x =   không phải là nghiệm của phương trình (3)

Để khắc phục sai lầm này ta cần tìm điều kiện có nghĩa của căn thức hoặc phải thử lại các giá trị tìm được vào phương trình (3)

* Các em không đặt ĐK để biến đổi tương đương:

Thật vậy các phương trình (3’) và (3’’) là không tương đương khi 2 - 7x < 0. Phương trình (3’) (3’’) với điều kiện 2 - 7x > 0, do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của phương trình (3). Nên phương trình vô nghiệm.

Lời giải đúng:

Cách 1: Sau khi tìm được x₁ = ; x₂ = 2 thử lại vào (3) không thoả mãn kết luận phương trình vô nghiệm.

Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho căn thức của (3) là x > 1, sau đó đặt điều kiện cho (3’) tương đương với (3’’) là x <  các giá trị x₁; x₂ không thoả mãn các điều kiện đó kết luận phương trình vô nghiệm.

Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa của các căn thức là x > 1 x <5x

  từ đó kết luận phương trình (3) vô nghiệm

BIỆN PHÁP 3: Hướng dẫn cho các các em một số phương pháp giải phương trình vô tỉ thường dùng. Mỗi phương pháp giáo viên  nêu ra một số ví dụ cho HS làm, sau đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.

1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa:

Để làm mất dấu căn ta nâng hai vế lên lũy thừa cùng bậc.

Ví dụ 1: Giải phương trình       3 +  = x   (4)    ĐK x >

Giải: (4)         = x - 3                            ĐK: x - 3 > 0  x> 3

                    2x - 3 = x² - 6 x + 9

                    x² - 8x + 12 = 0

                    (x - 6) (x - 2) = 0

                    x₁ = 6 ; x₂ = 2 (không thoả mãn điều kiện) loại

Vậy phương trình có nghiệm x = 6

Ví dụ 2: Giải phương trình  x +  = 13                    (5)     ĐK x > 1 (*)

Giải: (5)        = 13 - x                                       ĐK x < 13 (**)

                    x - 1 = 169 - 26 x + x²

                    x² - 27 x + 170 = 0

                    (x-1) (x-10) = 0

                    x₁ = 17 (không thoả mãn **) loại

                         x₂ = 10 (thoả mãn đk)     Vậy phương trình (5) có nghiệm x = 10

Ví dụ 3: Giải phương trình    (6)   ĐK: x >

Giải:              = +2

                    2x + 5 = 3x - 5 + 4 + 4

                   6-x = 4

Với đk x < 6 Phương trình         36 - 12x + x² = 16(3x-5)

                                                 x² - 60x + 116 = 0

                                                 (x-58)(x-2) = 0

                                                 x₁ = 58  loại (không thoả mãn đk)

                                                      x₂ = 2 (thoả mãn đk)

Vậy PT(6) có nghiệm x = 2

Ví dụ 5: Giải phương trình

                               (7)

Giải: (7)        2x + 1 + x + 3

                    3x + 3

 

 x (2x+1) = - x³

 x(x² + 2x + 1) = 0

 x (x+1)² = 0

 x₁= 0;   x₂ = -1

Giá trị x₂ không thoả mãn  (7)

Ví dụ 6: Giải phương trình                    (8)

Giải: ĐK :

Khi đó (8)     

                     = x +3                    (vì x>1)

                    x +3 = x² + 6x + 9

                    x² + 5x + 6 = 0

                    (x+2) (x+3) = 0

                        x₁ = -2 (loại)

                             x₂ =-3 (loại)

Vậy phương trình (8) vô nghiệm

2. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Các em cần nắm vững hằng đẳng thức  để làm mất dấu căn. Sau đó để phá dấu GTTĐ ta có thể xét khoảng hoặc dùng các bất đẳng thức.

           xảy ra dấu “=”   A.B > 0

         > A                 xảy ra dấu “=”   A > 0

         > - A               xảy ra dấu “=”   A < 0

Ví dụ 1: Giải phương trình:              (9)

Giải: Điều kiện x > 1

(11)    

            = 2

           

Áp dụng BĐT  > - A            xảy ra dấu “=”   A < 0

Ta có  

                   

                                                                 < 1

                                                                          x < 2

Kết hợp với đk x > 1  PT (9) có nghiệm là    1< x < 2

Ví dụ 2: Giải phương trình          (10)

Giải: ĐK : x > 4

(10)    

           

           

áp dụng BĐT    xảy ra dấu “=”   A.B > 0

Ta có: 

     = 1 (

 1 <  < 2          1 < x- 4 < 4

                                       5 < x < 8    (thoả mãn đk)

Vậy nghiệm của phương trình (10) là 5 < x < 8

Ví dụ 3: Giải phương trình              (11)

Giải: ĐK :  x >  

(11)       

           

           

              +  = 2

                                     = 1 -

áp dụng BĐT   > - A            xảy ra dấu “=”   A < 0

Ta có:  > 1 -

Xảy ra  = 1 -          - 1 < 0

                                                                  < 1

                                                                             x < 1

Kết hợp với đk x >

Vậy PT (11) có nghiệm     < x < 1

3. Phương pháp đặt ẩn phụ

    Biến đổi sao cho trong phương trình có chứa những biểu thức đồng dạng sao cho đặt ẩn phụ đưa về phương trình đơn giản hơn hoặc đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình thì bài toán trở nên quen thuộc dễ giải. Lưu ý điều kiện của ẩn phụ (nếu có)

Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x³ + 21 x + 18 + 2      (12)

Giải: ĐK :  x² + 7 x + 7 > 0

(12)    3(x² + 7 x + 7) + 2  - 5 = 0

Đặt   = t (t > 0)

Ta có phương trình:  3 t² + 2t - 5 = 0

 (t - 1) (3t + 5) = 0

   (loại)

Với t = 1    = 1    x² + 7 x + 7 = 1   x² + 7 x + 6 = 1 0

     ( thoả mãn x² + 7 x + 7 > 0)

Vậy phương trình (12) có 2 nghiệm là  x₁ = -1 và x₂ = - 6

Ví dụ 2: Giải phương trình           (13)

Giải:

Ta nhận x =1 không phải là nghiệm cuả pt (13)

Với x   Phương trình (27)  

Đặt

Với t₁=1            vô nghiệm

Với t₂=-3 

Vậy phương trình (13) có 1 nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình:          (14)

Giải: ĐK

Đặt  = a > 0

 > 0

Ta có .

(14)    a + b = 1 + a.b

a(1- b) - (1- b) = 0

 

Với a = 1   = 1  x - 1 = 1  x = 2 (thoả mãn đk)

Với b = 1      x³ + x² + x +  1 = 1

                                                 x³ + x² + x = 0

                                                 x(x² + x +1) = 0

                                      Do x² + x +1= (x +)² +  > 0

Vậy phương trình (14) có 1 nghiệm x = 2

Ví dụ 4:           Giải PT x³ + 1 = 2                                 (15)

Giải: Đặt  = t  2x - 1 = t³ + 1 = 2x

(15)  

 (x-t)(x²+ xt +t²)= - (x - t)

 (x - t)(x²+ xt +t² + 2) = 0; do x² + xt + t² +2 > 0

 x - t = 0  x = t         = x

                                       2x - 1 = x³  x³ - 2x + 1 = 0

 (x - 1)(x² + x -1) = 0

 x₁ = 1; x₂ = ; x₃ =  

Vậy (15) có 3 nghiệm x₁ = 1; x₂ = ; x₃ =

4. Phương pháp bất đẳng thức:

Ví dụ 1: Giải phương trình               (16)

Giải:

Ta chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau

Đ/k

Với đk này thì x < 5x do đó    Suy ra  vế trái của (16) là số âm, còn vế phải không âm phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình:

   (17)

Giải: ĐK: x£ -1;    x ³1.

Ta có:          VT =

                   VT =  do

VT > VP PT (17) vô nghiệm.

Ví dụ 3:  Giải phương trình

                   (18)

Giải:

Đ/k 

(18)

Do  ;  ;

                        

Vậy phương trình (18) có 1 nghiệm  (x, y, z) = (3, 7,14)

Ví dụ 4: Giải phương trình :                (19)

Giải: 

Đ/k   x

Phương trình (19)  

Áp dụng bđt Bunhia Côpski ta có:

dấu “=” xảy ra 

Phương trình (19)  

                               

kết hợp với đk và thử lại thấy x =1 là nghiệm của phương trình (19)

Đối với PT này ta thường dùng các hằng đẳng thức như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, BĐT Cosi, Bunhiacopxki, so sánh tập giá trị của hai vế, chứng minh nghiệm duy nhất. Đặc biệt lưu ý các dấu “=” xảy ra để kết luận nghiệm.

BIỆN PHÁP 4: Bài tập về nhà

          Sau khi hướng dẫn các em một số phương pháp để giải phương trình vô tỉ với 53 ví dụ từ dễ đến khó với vốn kiến thức nhất định về phương trình vô tỉ giáo viên nêu ra một hệ thống bài tập để cho học sinh luyện tập nhằm củng cố khắc sâu kiến thức đã học.

Giải các phương trình sau:

1.   

2.  

3.   

4.   

5.    

6.    

7.     

8.   

9.            

10.   

C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.

I. HIỆU QUẢ

      Sau một thời gian áp dụng đề tài , rôi đó thu đuợc những kết quả khả quan và đạt được những mục tiêu nhất định ,học sinh thấy hứng thú , yêu thích môn học,khả năng học và tự học tiến bộ hơn. Cụ thể thông qua các bài kiểm tra :

Lớp 9C	Tổng số	Giỏi		Khá		TB		Yếu
		SL	%	SL	%	SL	%	SL	%
Trước khi thực hiện đề tài	39	5	12.82	7	17.95	8	20.51	19	48.72
Sau khi thực hiện đề tài	39	10	25,64	15	38,46	11	28,21	3	7,69
Sự thay đổi		Tăng 5	Tăng 12.82	Tăng 8	Tăng 20.51	Tăng 3	Tăng 7.7	Giảm 16	Giảm 41.03

   

II. KẾT LUẬN

    Các bài toán về phương trình vô tỉ thường là những bài tập khó vì vậy để đạt được hiệu quả cao đòi hỏi mỗi giáo viên không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phải tìm tòi các phương pháp giúp học sinh dễ hiểu và tiếp thu một cách dễ nhất, nhanh nhất, biết chuyển những nội dung khó thành những nội dung đơn giản, gần gũi với các em.

   Bằng những phương pháp đã nêu trong đề tài hệ thống bài tập được xây dựng từ dễ đến khó giúp học sinh được tiếp cận và rèn luyện kỹ năng một cách nhẹ nhàng, tự nhiên.

   Hệ thống bài tập vận dụng sau mỗi phương pháp giúp các em vận dụng các kiến thức, phương pháp giải vào các bài tập cụ thể nhằm củng cố, phát triển các kỹ năng phân tích, đánh giá và sáng tạo thêm các bài tập.

   Vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn của bản thân, trong quá trình thực hiện đề tài, tôi không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường, tôi rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của nhóm chuyên môn cũng như hội đồng khoa học cơ sở. Điều đó sẽ giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong quá trình giảng dạy sau này.

III. KHUYẾN NGHỊ:

      Trong giai đoạn mới hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là nhiệm vụ hết sức quan trọng, để làm tốt được bài tập dạng “Phương trình vô tỉ” này đòi hỏi mỗi giáo viên không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phải tìm tòi các phương pháp giúp học sinh dễ hiểu và tiếp thu một cách dễ nhất, nhanh nhất, biết chuyển những nội dung khó thành những nội dung đơn giản, gần gũi với các em.

   Bằng những phương pháp đã nêu trong đề tài hệ thống bài tập được xây dựng từ dễ đến khó giúp học sinh được tiếp cận và rèn luyện kỹ năng một cách nhẹ nhàng, tự nhiên.

   Hệ thống bài tập vận dụng sau mỗi phương pháp giúp các em vận dụng các kiến thức, phương pháp giải vào các bài tập cụ thể nhằm củng cố, phát triển các kỹ năng phân tích, đánh giá và sáng tạo thêm các bài tập.

   Tôi xin được khuyến nghị và đề xuất với các cấp như sau:

    - Đối với giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể và chi tiết,  Đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp thiết kế đồ dùng dạy học và thiết bị dạy học sao cho sinh động và thu hút đối tượng học sinh tham gia. Cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên.

   - Đối với nhà trường tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị của giáo viên và học sinh để phục vụ cho việc dạy và học đạt kết quả cao. Thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn, chuyên đề, hội thảo... để nâng cao trình độ của giáo viên.

   - Đối với phòng giáo dục thường xuyên tổ chức thao giảng hội giảng, tập huấn chuyên môn cụm về chuyên đề tiết dạy khó, bỗi dưỡng cho giáo viên về phương pháp  dạy học tích cực.

       Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 6 chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết.  Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.

       Xin trân thành cảm ơn!